4-1泊松过程的定义

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1、一、预备知识二、泊松过程的定义三、数字特征与特征函数四、泊松过程的均方微积分返回1一、预备知识1随机点过程一类随机现象，它们发生的地点、时间以及相联系的某种属性，常归结为某一空间E中的点的随机发生或随机到达情况。例，某电话交换台在一天内收到用户的呼唤情况，令X(n)为第n次呼唤发生的时间，则X(n)是一随机变量，视作为一随机质点。因而{X(n),n=1,2…}构成一随机过程，这样的随机过程我们称之为随机点过程，或称为随机质点流。2ò一般说来，随机质点或事件的出现或到达情况形成一个随机质点流，记X(n)为第n个质点或事件出现或到达的时间,则{X(n),n=1,2…}是一个

2、随机点过程，通常称在单位时间内平均出现的质点的个数为随机流的强度，记为λ，即称此随机点过程是强度为λ的随机流。ò随机质点流示例ò商店接待的顾客流ò等候公共汽车的乘客流ò要求在机场降落的飞机流ò经过天空等区域的流星流ò纺纱机上纱线断头形成的断头流ò放射性物质不断放射出的质点形成的质点流ò数字通信中已编码信号的误码流32计数过程ò随机过程{N(t)，t≥0}是计数过程，如果N(t)表示到时刻t为止已发生的事件A的总数，且N(t)满足条件(1)N(t)≥0;(2)N(t)取整数;(3)若s

3、事件A的次数。4ò独立增量计数过程对于t0)，事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关5二、泊松过程的定义定义1如果取非负整数值的计数过程{N(t),t≥0}满足：1)N(0)＝0；2)具有平稳性独立增量；3)对任意0≤s

4、(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊松过程。6具有平稳性独立增量——————（1）对任意的s≥t≥0,∆t>0,增量N(t+∆t,s+∆t)与N(t,s)具有相同的分布函数（增量平稳性或齐次性）；（2）对任意的正整数n，任意的非负实数，0≤t≤t

5、(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊松过程。例1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t≥0}满足定义3的条件,故{X(t),t≥0}是一个泊松过程.例2考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t≥0}为一泊松过程8c)P{N(h)=1}＝λh+0(h)；d)P{N(h)≥2}＝0(h）对于足够小的时间h,有PNh(()0)1==−+λhoh()PNh(()2)()≥=ohP(()1)Nh==+λhoh()¢表明在足够小的时间内出现一个质点

6、的概率与时间成正比，而在很短的时间内出现的质点数不少于2个的概率是关于时间的高阶无穷小，这与实际情况是相吻合的，即在足够短的时间内，同时出现2个以上质点的事件应视为小概率事件。9定理泊松过程的定义1与定义1是等价的。证明1⇒2：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3)直接得到。λh−λhP{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝e1!＝λh[1-λh+o(h)]＝λh+o(h)即c)。∞k(λ)h−λh{PN)h(≥}2=∑ek=2!k2⎡(λ)h⎤=⎢+)h(o⎥1[−λh+h(o)]=)h(o⎣!2⎦即d)。102⇒1：条件1)与a)相同。条件2)由b)直

7、接得到。只要证明：N(t)(t≥0)服从参数为λt泊松分布。设p(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：kk(λ)t−λtp)t(=ek,=,2,1,0?k!k(1)k=0，p(t+h)＝P{N(t+h)=0}0＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0}＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}＝p(t)[1-λh+o(h)]0因为⎧p)t('=−λp)t(00令h→0得，⎨解得：p(t)＝e-λt。p)0(={PN)0(=}0=10⎩011(2)k≥1p(t+h)＝P{N(t+h)=k}kk=∑P{N(t)=,jN