4-1 泊松过程.ppt

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1、随机过程典型随机过程--泊松过程基本概念(齐次)泊松过程(齐次)泊松过程的分布特征(齐次)泊松过程的统计特征(齐次)泊松分布的相关问题非齐次泊松过程复合泊松过程主要内容基本概念计数过程独立增量过程泊松过程的特点主要内容在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程{N(t),t>0}称为计数过程。N(t)≥0，N(0)=0(s,t)内事件A发生次数表示为：N(t)-N(s)事件发生的时间是随机的计数过程定义tN(t)01234···SnSn-1TnN(t)[0,t)内发生的事件数第n次事件的发生时刻第n次事件与前次事件间的间隔独立增量过程独立增量过

2、程：随机过程N(t)在任意不相交的时间间隔内的变化量是相互统计独立的；独立增量过程具有马尔可夫特性平稳增量过程（或齐次增量过程）：在时间间隔(t,t+s)内的增量[N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关；定义定义t泊松过程若计数过程N(t)满足下列假设：从t=0起开始观察事件，即N(0)=0N(t)为独立增量过程N(t)为平稳增量过程在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ∆t+o(∆t),在(t，t+∆t)内出现事件二次以上事件的概率为o(∆t)即P{[N(t+∆t)-N(t)]≥2}=o(∆t)则称该过程为泊松过程N(t)≥0,参数

3、λ称为跳跃强度定义泊松过程的分布特征即：令∆t0：则：平稳增量性独立增量性微跳跃强度泊松过程的分布特征即：取极限：则：数学归纳法：泊松过程的分布特征、统计特征分布率母函数均值：二阶矩：方差：泊松过程的统计特征相关函数：设t1≤t2，则：类似地，若t2≤t1：综上有：相关问题(1)：首次发生时间S1的概率问题P{S1>t}=P{N(t)=0}=e-λt分布函数CDF：FS1(t)=P{S1

4、)的PDF为：tN(t)Sn相关问题(3)：各次事件间的时间间隔TnTn=Sn–Sn-1；T1=S1–0故：各次时间间隔的分布相同，和首次发生时间S1的PDF相同tN(t)SnSn-1Tn相关问题(4)：后验时间分布在（0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的到达时间S（S∈[0,t)）的概率分布.故：已知一段时间内出现一个事件，事件发生时刻在此时间段内均匀分布tN(t)st相关问题(4+)：后验时间分布（0，t2）内有n个事件的条件下，（0，t1）内有k个事件的概率：可看成(0,t)内n个独立均匀分布的随机变量随机选择区间的结果在(0,t

5、)内呈二项式分布xy相关问题(5)：两过程比快独立泊松过程N1(t)，N2(t)强度分别是λ1、λ2求N1(t)先于N2(t)发生首次事件的概率。设x，y分别是两个过程出现第一次事件的时刻相关问题(6)：两过程比快题设同前。问：在N2(t)第一次发生之前N1(t)发生了k次的概率xky泊松过程若计数过程N(t)满足下列假设：从t=0起开始观察事件，即N(0)=0N(t)为独立增量过程N(t)为平稳增量过程在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ∆t+o(∆t),在(t，t+∆t)内出现事件二次以上事件的概率为o(∆t)即P{[N(t+∆t)-

6、N(t)]≥2}=o(∆t)则称该过程为泊松过程N(t)≥0,参数λ称为跳跃强度定义分布率母函数均值：二阶矩：方差：相关函数：泊松过程的分布特征、统计特征泊松过程的相关问题(1)：首次发生时间S1的概率密度函数：fS1(t)=λe-λt(2)：第n次发生时间Sn的概率密度函数：(３)：各次事件间的时间间隔Tn的概率密度函数：(４)：（0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的到达时间S（S∈[0,t)）的概率密度函数：泊松过程的相关问题(1)：首次发生时间S1的概率密度函数：fS1(t)=λe-λt(2)：第n次发生时间Sn的概率密度函数：(３

7、)：各次事件间的时间间隔Tn的概率密度函数：(４)：（0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的到达时间S（S∈[0,t)）的概率密度函数：事件时间间隔负指数分布vs泊松分布泊松过程各次事件间的时间间隔Tn服从负指数分布若一个计数过程，其各次事件的时间间隔服从参数为的负指数分布，，是的n次卷积则该计数过程服从参数为的泊松过程事件时间间隔负指数分布vs泊松分布泊松过程各次事件间的时间间隔Tn服从负指数分布若一个计数过程，其各次事件的时间间隔服从参数为的负指数分布，参数λ为计数过程的跳跃强度则该计数过程服从参数为的泊松过程相关问题(7)：泊松过程的

8、和如果N1(t)和N2(t)是参数分别为λ1和λ2的相互独立的泊松过程，则他们的和N1(t)+N2(t)的分布特征？N1(t)的母函数：N2(t)的母