泊松过程两种定义等价性证明

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1、2014年8月安康学院学报Aug.2014第26卷第4期JournalofAnkangUniversityVol.26No.4泊松过程两种定义等价性证明陈立强（安康学院数学与统计系，陕西安康725000）摘要：随机过程教材中关于泊松过程的定义有两种形式，但教材对其等价性要么没有证明，要么只给出了证明的简单思路。本文给出了这两种定义等价性的详细证明过程。关键词：泊松过程；第一定义；第二定义；等价性证明中图分类号：O211.6文献标识码：A文章编号：1674-0092（2014）04-0098-03

2、n0引言P(N(t+s)-N(s)=n)=e-λ·t(λt),n=0,1,2,…,∞。n!泊松过程是随机过程教材中的经典例子，在日泊松过程(Poissonprocess)的第二定义(简称常生活及科研中经常碰到，因此有必要对其深入研为B定义)满足下面三条的计数过程N(t)={N(t)究。但在常见教材及科研文献中（如文献[1-3]）

3、t0,t∈T}叫做泊松过程：常常只给出了两种定义，要么没有证明，要么只给（1）N(0)=0；出了证明的简单思路，没有详细证明过程。本文对（2）N(t)是独立、平稳增量

4、过程；这两种定义的等价性进行详细证明。（3）N(t)满足下面两等式：1泊松过程的两个定义(3)′P(N(t+h)-N(t)=1)=λh+o(h)；计数过程(Countingprocess)定义设N(t)={N(3)″P(N(t+h)-N(t)2)=o(h)(h∈(o,+∞))。(t)

5、t0,t∈T}是一个随机过程，表示到t时刻为止2泊松过程两个定义的等价性证明已知事件“A”发生的次数，并且N(t)满足所有下证明要证明两个定义等价，即证AB。列条件：先证AB（或者A蕴含B）。（1）N(t)

6、0；显然，A中(1)B中(1)；A中(3)B中(2)之平+（2）N(t)∈N；稳增量过程；A中(2)B中(2)之独立增量过程。下（3）若s0，都有件“A”发生的次数。1(λh)-λh-λh则称N(t)是计数过程。P(N(t+h)-N(t)=1)=·e=λh·e1!泊松过程(Poissonprocess)的第一定义(简称∞k(-λh)为A定义)满足下面

7、三条的计数过程N(t)={N(t)=λh·[Σ]k=0k!

8、t0,t∈T}叫做泊松过程。2-λh(-λh)2=λh·[1+++o((-λh)]（1）N(0)=0；1!2!（2）N(t)是独立增量过程；=λh(1-λh+o(λh))（3）在任意长度为t的区间上，事件“A”发=λh-λ2h2+λh·o(λh)=λh+o(λh)。生的次数服从参数为λ,λ>0的泊松分布，即对任P(N(t+h)-N(t)2)=P(N(h)-N(0)2)=P(N(h)-02)，意的s,t∈[0,+∞]，有第一个等号

9、是因A中(3)B中(2)之平稳增量收稿日期：2014-04-27作者简介：陈立强，男，湖北十堰人，安康学院数学与统计系助教，主要从事随机过程研究。98过程，第二个等号是因为A中(1)B中(1)，即N(0)dP0(t)=-λP0(t)，dt=0。则dP0(t)P(N(t+h)-N(t)2)=P(N(h)-N(0)2)=-λdt(1P0(t)0)，P0(t)∞∞kk(λh)-λh-λh(λh)=Σ·e=e·Σk=2k!k=2k!则乙dP0(t)=乙-λdt，2nP0(t)-λhλh(λh

10、)(λh)λh=e·[(1+++…++…)-1-]1!2!n!1!lnP(t)=-λt+C′，0-λhλhλh-λh-λhlnP(t)=-λt+C′，=e·[e-1-]=1-e-λh·e,01!C′-λt-λt′故P0(t)=e·e=c·e（C和c是积分常数），-λh-λh1-e-λh·e因为lim+又因为P0(0)=P(N(0)-N(0)=0)=P(N(0)=0)=1，则h0h-λ×0-λh-λh-λhP0(0)=c·e=c=1，0-e(-λ)-λ[e+he(-λ)]=lim+P(t)＝e-

11、λt。h010-λh-λh2-λh2-λh由于P(t+h)=P(N(t+h)=n)=P(N(t+h)-N(0)=n)，把=lim{λe-λe+λhe}=limλhe=0,nh0+h0+时间段(0,t+h]分成两段：(0,t],(t,t+h]，则有-λh-λh所以1-e-λh·e=o(h)，即Pn(t+h)=P(N(t+h)-N(0)=n)P(N(t+h)-N(t)2)=o(h)。n故AB成立。=P{胰[N(t+h)-N(t)=i,N(t)-N(0)=n-i]}i=0再证BA成立。=P