P-拉普拉斯方程正解和多解的存在性.pdf

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1、2003年6月安徽大学学报（自然科学版）June2003第27卷第2期JournaIofAnhuiUniversityNaturaIScienceEditionVoI.27No.2P-拉普拉斯方程正解和多解的存在性胡茂林（安徽大学数学系，安徽合肥230039）摘要：研究在RN中的一般形式的P-拉普拉斯方程-di（vIDuIp-2Du）=（fX，u）（N>P>1）.在一定的条件下得到正确和多解.首先建立相应的变分范函，利用~Ider和SoDoIev不等式证明此范函满足PaIais-SmaIe条件，然后利用爬山原理证明了解的存在性.最后利用

2、严格最大值原理证明了正解的存在性.关键词：P-拉普拉斯；P.S条件；爬山原理中图分类号：0241文献标识码：A文章编号：1000-216（22003）02-0004-06!引言研究如下类型P-拉普拉斯方程正确和多解的存在性P-2N-di（vIDuIDu）=（fx，u），x!R，N"3，1

3、2）N-PN-P更准确地说，将证明在一定条件下，方程（0.1）存在着非平凡的正解和多解.对P-拉普拉斯方程的研究，当N=1，P=2，来自于天体物理学中关于气体动力学中的早期理论中.因此正解是有物理意义的.在相对论力学中，原子核物理，化学反应系统等研究［9］中也产生这个方程，对这个方程物理方面的研究感兴趣的读者可以参考Wong的文章和他［5］［6］的参考文献（.0.1）方程在黎曼几何中的形式是由Kening和Ni、描述的.从哪时起，关于［3］方程（0.1）有许多研究，主要是对称情形.这其中的文章有Gidas，Ni和NirenDerg.在N

4、ous-［7］sair和Swanson可以看到广泛的参考文献.在［7］、［10］中，研究了P=2的情形.本文我们将如下进行：1，pNPN（/N-P）（a）因为嵌入D（R）$L（见（1.1））不是紧的，将用下面推导的不等式证明这个变分泛函的临界点是满足PaIais-SmaIe条件的方程（0.1）的弱解；收稿日期：2001-10-30基金项目：国家科技部重大科技资助项目（国科基字［2001］51）；国家自然科学基金资助项目（60143003）作者简介：胡茂林（1965-），男，安徽合肥人，安徽大学副教授，博士.第2期胡茂林：P-拉普拉斯方程

5、正解和多解的存在性5［7］（D）然后利用爬山定理和严格最大值原理得到了非平凡正解；（C）在附加假设（fx，-U）=-（fx，U）下，利用［1］中的定理3.2得到了多解存在性.!主要结果预备知识本节给出以后要用的定义和不等式，取P1，（PRN）为=PN（/N-P），定义DSODOIGV空间：1，PNPNPNX=D（R）：=｛UL（R）；DUL（R）｝（1.1）其中的内积、范数分别为p-2p1/p〈U，1〉=DUDUD1cx，U=（DUcx）NNRRgN在本文中，\定义L（R）中的范数，有不等式gp-1pUpSU（1.2）其中

6、S是SODOIGV常数.取D（0，O），满足N（P-1）+P-P!N+P-Pb<<"（1.3）N-PN-PN-D定义R上连续函数（hX）为（hX）：=（1+X）.若O和Y满足（0.2），定义PNPI：=，S：=PN-（N-P）（"+1）"+111则I>1，S>1且+=1SIrN由（1.3），Dr>N，得到hL（R）且由~IcGr和SODOIGV不等式，得（1+x）-b"+1"+1（S-1）"/2"+1NU（x）cxhIUphIUR因此，证明了下面引理引理!"!对任何满足（1.3）的D（0，O），存在一个常数C>0

7、，使得（1+x）-b"+1"+1U（x）cxCUNR为了证明方程（1.1）的正解和多解存在性，关于f将作下面的假设：N+1（f）fC（R）；1（f）存在常数O（0，P）和Y>1满足（0.2）且21N（fx，U）C"U"，xR，UR；（1+x）N（f）存在常数G>P满足0#F（x，U）U（fx，U），UR，xR3U其中F（x，U）=（fx，S）cS0N（f）存在R中的一个有界开集O，S>0和r>0，使得对XO和u>r，F（X，u）>S>0.4下面两个定理是本文的主要结果：定理!"!在（f），（f），（f）和（f）的假设

8、下，方程（0.1）有一个非平凡正解.1234定理!"#假设（f），（f），（f）和（f）且12346安徽大学学报（自然科学版）第27卷（f）（fX，-u）=-（fX，u）.则方程（0.l）有无穷多解.5在以