分数阶Laplace方程正解的存在性、对称性.pdf

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1、EXISTENCEANDRADIALSYMMETRYoFPoSITIVESoLUTIoNoFFRACTIoNALLAPLACIANADissertationSubmittedtotheGraduateSchoolofHenanNormalUniversityinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofMasterofScienceByTingmeiLiSupervisor：Prof．LiMaProf．WengxiongChenApril，2014摘要本文主要研究分数阶偏微分方程((--△)詈+I

2、)u=牡卢log(1+u)，(0-1)在全空间Ⅳ上正解的存在性，对称性，其中，01。并在该方程的基础上分析方程组』“一△)暑+，)Ju=y(v)，西z瓞几，(o一2)l((一△)鲁+，)口：，(n)，i7。R几，、’正解的对称性。本文的结构安排如下：第一章，首先介绍分数阶Laplace方程正解的存在性，对称性的研究背景以及本文研究问题的来源；接下来给出了本文证明过程中用到的主要定义，定理及得到的结果。第二章，首先给出本节中所要用到的定义，定理等。接下来用变分法和山路定理证明了方程(o一1)正解的存在性。最后我们用移动平面法证明了方程(0-

3、1)iE解的对称性。第三章，用移动平面法证明了方程坌il(0—2)t解的对称性。关键词：分数阶Laplace算子，移动平面法，存在性，对称性IIABSTRACTInthispaperwestudyexistenceandradialsymmetryofpositivesolutionsof(--△)詈+I)u=u卢log(1+u)，(0-3)inthewholespaceRn，where01．Furthermore，weinvestigatetheradialsymmetryofpositivesolutionsofi礼R几．in瓞“．(

4、0-4)Inchapterone，first，weintroducetheresearchbackgroundoftheexistence，radialsymmetryofpositivesolutionoffractionalLaplacianandpresentsomebasicpropertiesandthemotivation．Next，wesimplyintroducesomeimportanttheoremsandresultswhichweshalluselater．Inchaptertwo，firstly,werecallsomeimp

5、ortantdefinitionsandtheorems．Secondly，weprovetheexistenceofpositivesolutionsof(0-3)byusethevariationalapproachandmountainpasstheorem．Lastly,weprovetheradialsymmetryofpositivesolutionsof(0-3)byusingthemovingplaneapproach．Inchapterthree，weprovetheradialsymmetryofpositivesolutionso

6、f(0-4)byusingthemovingplaneapproach．KEYWORDS：FractionalLaplacian?existence，radialsymmetry,movingplanesIII、●，、●，扣沁，=U”、●，、，，+口i、l／、●，△一，，＼，●＼，●＼，fL，I●●●●J(1_-_【IV摘要ABSTRACT第一章引言1．11．2第二章2．12．22．3目录IIII1背景知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1问题的提出和主要结果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

7、．．．2方程((一△)号+I)u=u声log(1+u)正解的存在性、对称性5预备知识、定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5方程((一△)詈+，)，u=u卢log(1+u)正解的存在性．．．．．．．．．．．．．．．6方程((一△)号+J)u=u卢log(1+u)正解的对称性．．．．．．．．．．．．．．-13第三章方程组正解的对称性193．1方程组正解的对称性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．19参考文献致谢独创性声明232729VVI第一章引言弟一早jl苗本章，首先介绍了一致椭圆偏微分方程、L

8、aplace方程、poisson方程、分数阶Laplace方程的背景知识、发展过程，然后简单地