含有一个参数的p-拉普拉斯方程正解的存在性-论文.pdf

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1、第46卷第3期郑州大学学报(理学版)Vo1．46No．32014年9月J．ZhengzhouUniv．(Nat．Sci．Ed．)Sep．2014含有一个参数的一拉普拉斯方程正解的存在性高婷梅(陕西理工学院数学与计算机科学学院陕西汉中723000)摘要：通过变化的山路引理，证明了一类含有一个参数的P一拉普拉斯方程正解的存在性．关键词：变化的山路引理；P一拉普拉斯方程；正解中图分类号：O177．91文献标志码：A文章编号：1671—6841(2014)03—0O09—04DOI：10．3969／j．issn／1671—6841．2014．03．0030引言考虑以下P一拉普拉斯方程

2、：f一△“=)，12，(1)Lu=0．∈d』2其中，Ap=diV(1VulVu)，P>1，A>0是参数，12：~R(Ⅳ≥1)中带有光滑边界的有界区域，函数，f)∈c(12一×R，R)满足以下条件：(F)lim：+∞a-e．∈12一；(f)存在某常数0≥1，0o>0，使得OH(x，s)≥H(x，t)一Oo对所有的∈，0≤t≤s都成立，其中H(x，t)=，t)t—pF(x，￡)，F(x，￡)=J，s)ds；J0(f1)厂关于￡是次临界的，即当Ⅳ>p时存在g∈(p，)，当』、r≤p时存在g∈(p，+∞)，使得1i：o∈．(f=!)6。≤liminf≤liminf≤。()a．e．x∈

3、，其中6。为常数ya()E()满足对++所有的∈都有口()≤Al，且存在某正测集使得()0，使得对每一个A∈(0，叼)，方程(1)至少存在一个正解．注作为一种主要的非线性椭圆问题，方程(1)被广泛研究．许多文献证明了对每一个A>0，方程(1)至少有一个非平凡解，如果函数，t)满足(F)、(n)和以下条件：(f【)))-．0-lim=0a．e．∈12一；(AR)存在某常数>p，M>0使得0

4、件对于应用山路引理非常方便，但它却使函数，t)很受限制．为了克服缺失(AR)条件带来的困难，文献[2]研究了当P=2时方程(1)的解，并且用以下条件代替T(AR)条件：(h1)H(x，t)=，(，t)t一2F(x，t)关于t单调递增；，t)>0对所有的(，t)∈×R都成立，且存收稿日期：2o14—03—06作者简介：高婷梅(1985一)，女，硕士，主要从事非线性泛函分析研究，E．mail：gtmgtmgtm@126．corn．10郑州大学学报(理学版)第46卷在常数t。>0，>2，C。>0使得，t)>C0ltl对所有的(，t)∈力×R(ItI≥t。)都成立．文献[3]研究了当

5、P>1，A=1时方程(1)解的存在性，并将(AR)条件替换为，／～．、——(h2)对所有的t≥0和∈是非减的．￡文献[4]讨论了当P>1时的方程(1)，并证明，如果函数，t)满足次临界条件，(F)，(f0)，(h3)存在某常数0。>0，使得H(z，t)≤H(，s)+0+对所有的∈力，01的情形，但和文献[4]相比，条件(f)削弱了(h3)；({2)包含了条件(fO)中的情形；本文不仅得到了方程(1)的非平凡解，而且得到了它的正解．因此，本文推广了文献[4]的结果．1定理1的证明定义c泛函：，^(u)

6、=吉IVuI一AfF(x,u~)，V“∈’()，其中，M±=max{±，0}．寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函，(11,)的非零临界点．下面将通过3步来寻找，^()的临界点．(a)证明IA(“)满足(C)条件．令{u}c()满足，^(U)c，(1+llUl1)Il，(u)ll一0，n一∞，(2)从而，(：)一AF(：))=c+D(1)．(3)下证{}有界．若不然，假设存在{}的子序列(仍记为{n})满足I{nfI一。。，_十o。·令，则IIf}=L故存在W∈(力)及{W}的子序列(仍记为{W})使得三在，()中；三在(力)中，加()一()．e．∈／2．(4)易见，W和W

7、一具有类似于式(4)的收敛性．若E0，选取一个实数序列}，使得(M：)cEm『ax(u：)·对每一个整数m≥1，定义0．1](2Pm)1：，因为+0，则有(n)=0·(5)因为IIII一+。。，n一∞，故当n充分大时，∈[。，1]．由￡的定义及式(5)可得(“：)≥(M：)≥L((2pm)寺：)≥()I>2m—F(，)d≥m，所以，(t)--}+∞．n∞．(6)由(f2)知，0)=0，则，(0)=0，又因为，^(u)一C，n一∞，所以当n充分大时0