自然数因数分解定理构建及应用.pdf

《自然数因数分解定理构建及应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第14卷·第6期右州教育学院学报Vo1．14，No．62011年12月d0Urna1ofSuzhouEducationInstituteDec．2011自然数因数分解定理构建及应用朱水源(宿州职业学院安徽·宿州234000)【摘要】本文用两种方法推理出求正自然数m所有正因数个数所有正因数个数和求自然数所有正因数的和的定理，并举例说明定理的应用。【关键词】自然数正因数真因数素数和【中图分类号】o143【文献标识码】A【文章编号】1009—8534(2011)06—0132—02一、引论就一个较大的正自然数而言，要写出它所有互数论中，对于一个不是1的正自然数m。它有多不相同的正

2、因数并非易事，况且在写的过程中，遗漏少个互不相同的正因数?所有这样的正因数的和是是难免的。自然数210就有16个互不相同的正因多少?这些问题，涉及自然数结构解析和自然数因数数，288有18个互不相同的正因数，由此也可看出。分解，我们先举两个简单的例子，从例子中可窥探一自然数大小与它们的互不相同的正因数多少相关度‘。一0不高。例1．写出正自然数210所有互不相同的正因二、自然数因数分解定理数，并求它的所有互不相同的正因数的和。本文给出易记、且计算简便的自然数因数分解解：210=2x3x5x7定理，从而很方便地解决引论中的问题。显然，正自然数210所有互不相同的正因数是定理设自

3、然数m(本文涉及的自然数均不为11，2，3，5，6，7，10，14，15，21，30，35，42，70，105，210。和0)的素因数分解式是计算得，210所有互不相同的正因数的和是m：p，p2⋯p一例2．写出正自然数288所有互不相同的正因一其中ti=l,2,---,n)，是互不相同的素数，那么数，烹要正因数的和。伺(。)m共有解：288=2×2×2×2×2×3×3=。。。这就是说正自然数288，它所有的正因数是1．(1+ti)=(1+t-)(1+t2)⋯(1十tD)2，3，4，6，8，9，12，16，18，24，32，36，48，72，96，144，个互不相同的正因数。

4、288。(2)m所有互不相同的正因数的和是计算得，288所有互不相同的正因数的和是InI(t+If-I．l二2(((、且)．)=819。．．1p广1(P1-1)(i~-1)⋯(pn．．1)综合上述例子得知，任何正的自然数都是由互证法1：由定理条件不难得知，nl的正因数是不相同的素数、或互不相同的素数的若干次幂的乘d=pirI-pp其中0≤IIli≤ti(i一1，2，⋯n)。当m1=mr"-⋯=积构成，也就是说任何正的自然数都可以做因数分mn=O时，正因数是1；当I'll1，m2，mn依次有n一1个取0解，并最终分解成互不相同的素数、或互不相同的素时，m的正因数是d=p

5、m，

6、这样的因数共有∑t个，它们数的若干次幂的乘积。的和是毋⋯当m，m2，⋯mn都不取0时，d=p。-：l=ll=I一一米[收稿日期12m1-11—19[作者简介]朱水源(1955一)，男，副教授。宿州职业技术学院教师。主要研究方向：计算数学。132朱水源：自然数因数分解定理构建及应用，此时In共有mti个正因数，其和是毋63个。这些正因数的和是145151。综上所述．得到例4．求自然数13230的正因数的个数及所有这(1)自然数In所有互不相同的正因数的个数是些正自然数的和。解：13230=2x33x5x72，由定理得13230共有l+∑+．．．十ntiH(1+)=0+t,ka

7、+tz)⋯el+)(1+1)(1+3)(1+1)(1+2)=48(2)自然数In所有互不相同的正因数的和是即有48个正因数；它所有正因数的和是二二：=41040l+∑+．．呻兀∑=n(1+∑p)(2一lX3一D(5-1)(7一1)即41040。彝c，~："t+h-lVnt：：-Dr"／'~la-D。#例5．把1，000，000的每一个真因数取以1O为证法2：设n元多项式底的对数．把这些对数加起来，得到和S。求离S最近f(x1，x2，⋯=(1+x1，⋯’】【(1+x1，⋯，xJ⋯(1+x1'的整数。(自然数n的真因数是指1的不等于1，也不x2'⋯，xJ等于n的因数；第四届美国

8、数学邀请赛试题)当xi=pi(1≤i≤n)时，f(p，p2'⋯pJ展开式中的每一解：我们首先把1，000，000分解为项都是m的一个正因数；反之，in的每一个正因数都1，000，000=26x5是f(p。，p2'⋯pJ展开式中的一项。因此，自然数m所有所以1，000，000所有正因数的和是正因数个数就是f(x，x2’⋯，的系数和；m所有正因数(2-1)一錾(5：-二D旦(1+圭智2f)一o+5)个数的和就是，⋯，而f(x。，⋯，xD)的系数和是厂Q，1．．．1)=(1+t1)(1+)⋯O+)=l+∑(2+5)+∑∑