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1、泰勒定理及应用一、主要定理回顾1、Taylor定理若f()x满足：（1）在闭区间[ab,]上存在f(x)直到n阶的连续导数；（2）在开区间()ab,内存在f(x)的n+1阶导数；则对∀x,[xa∈,b]，有f()xPxRx=+()()，其中0nn()nfx′′()002fx()nPxfxfxxx()()()(=+′−)+(xx−+)?+(xx−)，称为Taylorn000002!n!n多项式，Rx()=−ο((xx))（当x→x），称为皮亚诺(Piano)型余项；或n00(1n+)f()ξn+1Rx()=−(xx)，称为拉格朗日
2、(Lagrange)型余项。n0(1n+)!2、马克劳林（Maclaurin）公式（常用）()nff′′(0)2(0)n当x=0时，f()xffx=++(0)′(0)x+?+xRx+()，其中0n2!n!(n+1)nnf(ξ)+1R()xox==()或Rx()xnn()n+1!3、常用函数的Maclaurin展开式23nxxxx（1）ex=++++++1,?R()xx∈Rn2!3!n!(θx)nne+1Rnn()xox==(),Rx()x()n+1!n−121n−357xxx()−1x（2）sinxx=−+−++??+RxxRn
3、2n(),∈(=1,2,3,)3!5!7!()2n−1!⎛⎞21n+sin⎜⎟θπx+22nn⎝⎠2+1R22nn()xox==(),Rx()x()21!n+246n2nxxx()−1x（3）cosxR=−+−++1??+21n+()x,x∈R(n=1,2,3,)2!4!6!()2!n⎛⎞22n+cos⎜⎟θπx+21nn++⎝⎠222R21nn++()xox==(),Rx21()x()22n+!1n−123xx()−1n（4）ln1()+=−+++xx?xRxx+n(),∈−(1,1]23nnnn()−1+1R()xox==(
4、),Rx()xnnn+1()nx++11()θααα()−−112αα()?(α−n+1)n（5）()11+=x++αxx++?x+Rn()x2!n!nαα(−−1)?(αn)α−−n1n+1Rxoxnn()==(),1Rx()()+∈θxx,x()−1,1()n+1!123nn（6）=−+−++−1(xxx?1)xRxx+(),∈−(1,1)n1+xn+1nn(1)−+1R()xox==(),Rx()xnnn+2(1+θx)以上各式中θ∈()0,1二、典型题型解析1、应用Taylor公式证明含有中间值的等式、不等式例1、设f(
5、)x在[ab,]上连续,在(ab,)内有二阶连续导数,2⎛⎞ab+()ba−证明：∃∈ξ()ab,，使fb()−+2f⎜⎟fa()=f′′()ξ⎝⎠24（1）关键词：f()x在()ab,内有二阶连续导数ab+ab+（2）分析：考虑三个已知点ab,,，在处对f(x)做二阶Taylor展开，有222⎛⎞⎛⎞ab++ab⎛⎞ba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−faf()=+−⎜⎟⎜⎟f′⎜⎟+−⎜⎟⎝⎠⎝⎠22⎝⎠22!⎝⎠22⎛⎞⎛⎞ab++abba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−=−ff⎜⎟⎜⎟′+⎜⎟⎝⎠⎝⎠2222!⎝⎠22⎛⎞⎛⎞ab+
6、+abba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−fbf()=+⎜⎟⎜⎟f′+⎜⎟，⎝⎠⎝⎠2222!⎝⎠22⎛⎞ab+()ba−从而fa()−+2f⎜⎟fb()=()f′′()ξ12+f′′()ξ，再利用介值定理即可。⎝⎠28（3）证明：因f()x在[ab,]上连续,在(ab,)内有二阶连续导数，则22⎛⎞⎛⎞ab++ab⎛⎞ba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−faf()=+−⎜⎟⎜⎟f′⎜⎟+−⎜⎟⎝⎠⎝⎠22⎝⎠22!⎝⎠22⎛⎞⎛⎞ab++abba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−⎛⎞ab+=−ff⎜⎟⎜⎟′+⎜⎟，ξ∈⎜⎟a,1⎝⎠⎝⎠2222!
7、⎝⎠2⎝⎠22⎛⎞⎛⎞ab++abba−f′′(ξ1)⎛⎞ba−⎛⎞ab+fbf()=+⎜⎟⎜⎟f′+⎜⎟，ξ2∈⎜⎟,b，从而⎝⎠⎝⎠2222!⎝⎠2⎝⎠22⎛⎞ab+()ba−fa()−+2f⎜⎟fb()=()f′′()ξ12+f′′()ξ，又f(x)在()ab,内有二⎝⎠28阶连续导数，则f′′(x)在[ξξ,]有最大值M和最小值m，使mf≤′′(ξ)≤M，121ff′′()ξξ12+′′()mf≤≤′′()ξ2M，故mM≤≤，有介值定理∃∈ξξξ(12,)，22ff′′()ξ12+′′()ξ⎛⎞ab+()ba−使f′′(
8、)ξ=，即fa()−+2f⎜⎟fb()=f′′()ξ2⎝⎠24例2、设f()x在[ab,]上有二阶连续导数，且fafb()=()=0，fx′′()≤8，⎛⎞ab+2证明：f⎜⎟≤−()ba⎝⎠2（1）关键词：二阶连续导数；fafb()=()=0；fx′′()≤8
