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1、2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)Apr.2010第10卷第2期JournalofLangfangTeachersCollege(NaturnalScienceEdition)Vol.10No.2泰勒公式的证明及应用潘劲松(湖南机电职业技术学院,湖南长沙410151)【摘要】泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不
2、等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。【关键词】泰勒公式;证明;应用TheProofofTaylorFormulaandItsApplicationPANJin2song【Abstract】Taylorformulaistheembodimentof“approximatioss”ofcalculousandhasimportantapplicationsinvariousaspectsofcalculus.Thispaperintroducesasim
3、plernewmethodofproofofTaylorformulaonthebasisoftheorems,whichhavebeenstatedincurrentgeneraltextbooks,anditsproofs.InviewofextensiveuseofTaylorformulainanalysisandstudyofproblemsinmath2ematicalanalysisandsolutionsofpracticalapplications,thepaperhavegen
4、eralizedapplicationsinnineaspectswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculation,judgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,proofofine2quality,proofofdefiniteintegral,determinantcalculationandmean2valueformula,mean2valu
5、eestimateofderivative,boundaryes2timate,andillustratedrelevanttechniquesofapplications.【Keywords】TaylorFormula;prove;application〔中图分类号〕O172〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674-3229(2010)02-0016-06(n+1)f(x0+θ(x-x0))n+11预备知识Rn(x)=(x-x0),n!1.1带有Peano型余项的泰勒公式(0<θ<1),(n+1)函
6、数f(x)在[a,b]上具有n阶导数,则f(x0+θ(x-x0))形如Rn(x)=(x-n!Px∈[a,b]有n+1(2)(a)x0)的余项称为Lagrange型余项。ff(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+(x-2!在式中,令x0=0,得到f(x)在x=0点的泰勒(n)2f(a)n公式a)+⋯+(x-a)+Rn(x)(1)n!(n)f(x)nnf(x)=f(0)+f′(x)(x)+⋯+(x)+Rn(x)其中Rn(x)=o((x-a)),n!Rn(x)称之为麦克劳林公式(Maclaurin公式
7、)。即limn=0。x→x0(x-x0)1.3常见的Maclaurin公式351.2带有Lagrange型余项的泰勒公式xxn-1(ⅰ)sinx=x-+-⋯+(-1)函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具3!5!2n+1有直到x2n+2n+1阶导数,则对Px∈(a,b)有+o(x);(2n+1)!(2)f(x0)2246f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0)xxxn2!(ⅱ)cosx=1-+-+⋯+(-1)2!4!6!(n)f(x0)n2n+⋯+(x-x0)+Rn(
8、x)(2)x2n);n!+o(x(2n)!其中[收稿日期]2010-02-06[作者简介]潘劲松(1968-),男,湖南机电职业技术学院副教授,硕士,研究方向:高等数学教学、高职教育管理。·16·第10卷·第2期潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月23(n)xxnf(x0)n(ⅲ)ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+⋯+(x-x0)+Rn(x),23n!n+1n+1n+1xn+1A(x-x0)B(x-x0)n+1+o(x);其中Rn(x)介于和之(n+1)!(n+1)!(ⅳ
