泰勒公式的证明及应用 开题报告.pdf

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1、题目泰勒公式的证明及推广应用一、选题背景和意义在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使

2、问题变得简单易解。二、国内外研究现状、发展动态本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域：一、带不同型余项泰勒公式的证明；二、泰勒公式的应用举例。三、研究内容及可行性分析在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方

3、面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。一、带不同型余项泰勒公式的证明：本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式；二、泰勒公式的应用：本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用：1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所

4、注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及,事实上,它在这方面的应用起着不可替代的作用,我将通过应用泰勒公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计,寻找简便有效的判定级数及广义积分的敛散性的方法。3、泰勒公式在行列式中的应用；函数的泰勒公式在数值计算及数学论中

5、占有很重要的地位,我将通过借助于罗尔定理及函数的泰勒多项式的行列式表示,给出两个函数之间的泰勒公式的关系,借助于这种关系给出其应用4、泰勒公式在近似计算中的应用；利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式，余项应当以拉格朗日型表达，以便于误差的估计。5、泰勒公式在证明等式、不等式中的应用；对于一般不等式，泰勒公式可适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题；对于积分不等式上，泰勒公式适用于已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号

6、的类型题目；对于积分等式，泰勒公式适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题。6、泰勒公式在求初等函数的幂级数展开式中的应用；利用基本初等函数的幂级数展开式，可通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式。7、泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用；泰勒公式不仅仅可以用来来判断函数的单调性、极值，也可尝试利用它来研究函数的凹凸性及判断拐点。同时，在利用泰勒公式对函数极值的判定时，可以相似地推出函数拐点的判定。可行性分析：泰勒公式作为高等数学中的一项非常重要的知识，我对泰勒公式已经进行过系统地学习，浙师大图书

7、馆有着丰富的馆藏资源和期刊电子数据库都为我提供了各种资料，并且有专业指导老师的指导和帮助，我相信该研究课题非常可行。四、论文拟解决的关键问题及难点在本次论文中，我设定的拟解决的关键问题和难点是：在解题中怎么分析题设条件及其形式特点,并把握处理规则,如何比较好地利用泰勒公式来提高解题的技巧，如何对泰勒公式的证明和七个应用做一个系统的归纳和总结。五、研究方法为了写好论文我到中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找相关论文的发表日期、刊名、作者，接下来要到图书馆查找相关文献，到互联网上查找相关期刊文献。从图书馆借阅相关书籍，仔细阅

8、读，细心分析，争取通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作。在具体解题中，我将采用了数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法。本次论文将通几个典型的例题，说明几个类型的问题，也即是从特殊到一般的推理过程，又称之为研究式学习(归纳。这种研究