勾股定理姊妹定理及应用

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1、勾股定理的姊妹定理及应用湖南省华容县幸福中学刘昌平414207众所周知：直角三角形斜边c的平方等于两直角边a、b的平方和，简记为c2=a2+b2。这是著名的勾股定理。笔者把以下结论称之为勾股定理的姊妹定理——斜高定理：12直角三角形斜边c与斜边上的高h之积，等于两直角边a、b之积，简记为ch=ab。证明：∵SRt△ABC=ch12SRt△ABC=ab1212∴ch=ab∴ch=ab利用斜高定理进行直角三角形中的有关计算和证明，往往可化繁为简、化难为易，达到事半功倍、出奇制胜的效果。下面举例说明。一、用斜高定理求斜边上的高，简捷。例1，已知如图，CD是Rt△ABC

2、斜边AB上的高，AB=5，AC+BC=7，求CD的长。解：依题意，得AC+BC=7（已知）（1）AC2+BC2=AB2=52（勾股定理）（2）AB·CD=AC·BC（斜高定理）（3）（1）两边平方，得AC2+BC2+2AC·BC=72（4）把（2）、（3）代入（4），得52+2×5CD=49，CD=2·4例2，已知三角形的三边为6cm、8cm、10cm，求此三角形最长边上的高。解：设此三角形最长边上的高为h∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形，且10cm为斜边，由斜高定理，得10×h=6×8，即h=4.8（cm）答：此三角形最长边上的高为4.8cm。二、

3、用斜高定理证几何题，方便。1a21b21h2例3，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边上的高CD=h，BC=a，AC=b，求证：+=证明：由勾股定理，得AB2=a2+b2（1）AB2(AB·h)2a2+b2(ab)21a21b21h2由斜高定理，得AB·h=a·b(2)，(1)÷(2)2，得=,即+=。X2-r2例4，已知x、y、z、r均为正数，且x2+y2=z2,z·=x2，求证：xy=rz。证明：如图构造Rt△ABC，使BC=x，AC=y，则AB=zX2-CD2过C点作CD⊥AB，垂足为D，由射影定理，得BC2=BD·AB，X2-r2X2-CD2又由勾

4、股定理，得BD=即x2=z·∵X2=Z·X2-r2X2-CD2∴z·=z·，故CD=r。由斜高定理，得zr=xy,即xy=rz.三、用斜高定理判定直线与圆的位置关系，明快。例5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cmBC=4cm，以C为圆心，r=2.4cm为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？解：过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，由勾股定理，得3×45AC·BCAB32+42AC2+BC2AB===5，由斜高定理，得AB·CD=AC·BC即CD===2.4∵d=CD=2.4cm，r=2.4cm，而d=r∴⊙C和AB相切。四、用斜高定理计算有

5、关问题，利索。例6，在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径长为()22（A）4（B）8（C）24（D）162222x2+x2OA2+OB2解：作OC⊥AB，垂足为C，则OC=4，设OA=OB=x＞0，又∠AOB=90°，由勾股定理，得AB===x，由斜高定理，得AB·OC=OA·OB，即x·4=x·x，故x=4，所以⊙O的直径为8，应选（B）。例7，已知如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=10，梯形的高DE为5，求BD的长。解：过D点作DF∥AC，交BC的延长线于F，又AD∥BC∴ACFD是平行四边

6、形∴DF=AC，CF=AD∴BF=BC+CF=BC+AD=10∵AC⊥BD∴DF⊥BD又∵ABCD是等腰梯形，∴BD=AC∴BD=DF∴△BDF是等腰直角三角形，设BD=x，则DF=x，22由斜高定理，得BF·DE=BD·DF即10×5=x2∴x=5，故BD的长为5。