勾股定理的逆定理及应用

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1、CM+<<00<0co寸解析：(1).逆命题：有四只脚的是猫(不正确)(2).逆命题：相等的角是对顶角(不正确)(3).逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上？(正确)(4).逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)总结娜本题是为了学习勾股定理的逆命题撇备2222、如果△ABC的三边分别a、b、c,且满足+b+c+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状。思路点拨：要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从

2、该条件入手，解决问题。解析：由a2+L+c2+50=6a+8b+10c,a得：a^a+g+bdb+IG+c"0c+25=0,/.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0o•/(a-3)2>0,(b-4)0,(c-5)2>0o3=3,b=4,c=5o*.*32+42=52,a2+b2=c2o由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。总结雅：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变刃四边形ABCD中，zB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形AB

3、CD的面积【答案】：连结AC/2B=90°,AB二3,BC=4.2二AB2+BC&25（勾股定理）.AC=5••AC©皿'AD皿皿+CD够呃…rv^-ABAC-CD=362:上ACD=90°（勾股定理逆定理）【变豹已知:aABC的三边分射m一n2,2mnm+n2(m,n为正整数，且nt>n),判阶ABC是否为直珥丙站形？y+(2加=w4-2//+/+4//分折为味题址利曲甸般定理的的逆定理,2+匕2二C?艮卩可只要证明：a所以彳ABC是直角三角形・【变刊如图正方形ABCD,E为BC中2=BF2+BE2=a2+4a

4、2=5a2；点，F为AB上一点，且BF=ABo请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】答：DE±EFo证明:;;E=EC=2a,AF=3a,AB=4a,DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2o连惦(如图)DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2o/.DF2=ER+DE2,・•・FE丄DE。经典例题痍型二：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的慝求面积，可以先通过比值设解析：设此直角三角形

5、两1未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积直角边分剁3x,4x,根据题意得：（3x）2+（4x）2=202化简得x2=16；二直角三角形的面积=2=3x=4x=6x=96总结雅直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式1］等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，］等边△ABC,作AD丄BC于D/.BD=1AD2=AB?—BD2=4—1=3Ta,则其面积为a。则：bd=2BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相蜃tAB=AC=BC=2（等边三角

6、形各边都相等）在直角三角形A早D中，AB=AD2+BD2>即：_273注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为..AD—Saabc—BC〃AD【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答手力珍辆毎「王为形晒角边长分别X,y,根据题意得：2+宀5?⑵由（1）得：x+y=7,（x+y）2=49,x2+2xy+”2=49（甲）（3）—⑵，得：xy=12一一2）・•・直角三角形的面积是」xy=丄=12=6（cm【变式3］若直角三角形的三边长分别n+仁n+2,ri+3,求n。思路点拨：首先要确

7、定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4・・・n=〒2,但当n=—2时，n+1=—1<0,二n=2总结蘇注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题翳合出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D>8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据

8、较大的可以用b2=C2—a2=(c—a)（c+a）来判断。例如：对于选择2v8*（40+39）=（40-39）,二以8,39,40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项【答案】：A【变式5］四边形ABCD中，zB=90°,AB=3,BC二4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。解：缩ACB=90°,AB=3,BC=4/.AC