陕西省西安中学2019_2020学年高二数学12月月考试题理.doc

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陕西省西安中学2019-2020学年高二数学12月月考试题理一、选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分）1、“a∥，则a平行于内任一条直线”是(　　)．A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题2、若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A．原命题B．逆命题C．否命题D．逆否命题3、给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)．A．3B．2C．1D．04、“a和b都不是偶数”的否定形式是(　　)．A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数5、如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论：①命题“p且q”是真；②命题“p且q”是假；③命题“p或q”是真；④命题“p或q”是假．其中正确的是(　　)．A．①③B．②④C．②③D．①④6、“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)．　A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、已知两平面的法向量分别为＝(0，1，0)，＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°8、在直三棱柱中，∠BCA＝90°，M，N分别是，的中点，BC＝CA＝，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.　　　B.C.D.9、若直线的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于(　　)A．120°　　　B．60°C．30°D．60°或30°10、在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.B.C.D.11、已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)-8- A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12、已知长方体中，，若棱AB上存在点P，使得，则AD的最大值是(　　)A．B．C．2D．1一、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13、直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．14、设有两个命题：①关于的不等式的解集是R；②函数是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数的取值范围是________．15、已知四面体中，＝60°，＝1，＝2，＝3，则＝________．16、已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（本大题10分）已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．18、（本大题12分）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积．19、（本大题12分）已知，，求：（1）线段的中点坐标和长度；-8- （2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件20、（本大题12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．21、（本大题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．22、（本大题12分）如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．-8- 西安中学高二12月月考试题理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分）题号123456789101112答案BDCAABCCCBAD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13、－4或014、m＝0或m≥115、516、三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（本大题10分）已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．解　由命题p得：x>10或x<－2，由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m，或x>1＋m(m>0)．因为p是q的充分而不必要条件，所以p⇒q，且q⇒/p，{x|x>10或x<－2}⊆{x|x<1－m，或x>1＋m(m>0)}，所以解得即m≤3.所以正实数m的取值范围为(0，3]．18、（本大题12分）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积．（1）证明：∵，，-8- ∴，，又，平面，∴是平面的法向量．（2），，∴，∴，∴，∴．19、（本大题12分）已知，，求：（1）线段的中点坐标和长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件解：（1）设是线段的中点，则．∴的中点坐标是，．（2）∵点到两点的距离相等，则,化简得：,所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．20、（本大题12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.-8- 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝.如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝.即PB与AC所成角的余弦值为.21、（本大题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．[解]　(1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF，DE都与平面ABCD垂直，∴BF∥DE.∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，-8- ∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则得令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量．∵＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则sinθ＝|cosn，|＝＝，∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.22、（本大题12分）如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.所以PO＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.-8- (2)以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝a，得z＝－a，x＝(a－4)，所以平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈，n〉＝.由已知可得|cos〈，n〉|＝cos30°＝，所以＝，解得a＝或a＝－4(舍去)．所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.-8-