线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课

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1、线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课(1)对调两行(对调i与j两行记为)(2)以数乘第i行的所有元素(记为)(3)把某一行所有元素的k倍分别加到另一行对应的元素上去(第j行k倍加到第i行上去,记).一、矩阵的初等变换2、矩阵A与B等价3、矩阵的化简:可化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形。1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型．注:4.A的标准型中的r由A确定.1、定义（一）内容概要2.矩阵秩的性质(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．设A:型矩阵,则:

2、(5)即矩阵经初等变换后其秩不变．二、矩阵的秩及其求法1、定义：A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩一般方法：1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵；2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。n阶方阶A的秩R(A)=n方阵A可逆.几个等价命题：三、初等矩阵1、定义：由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、Eij（k）.2、初等矩阵的性质：1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且其逆矩阵还是初等矩阵;2）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一

3、次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.【推论1】设A是可逆矩阵,则：【推论2】两个型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.并且：R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)3、重要结论：A=P1P2…Pk.【定理1】矩阵A可逆存在有限个初等阵P1,P2,…,Pk，使:四、初等变换的应用1、用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩阵:(AE);2)做初等行变换注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵:2.用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:五、线性方程组的解有解无解R(A)=n有唯一解R(

4、A)

5、三阶矩阵B≠O,且AB=O,试求a的值.【解】由AB=O,B≠O得:方程组Ax=0有非零解,R(A)<3例4解例5设A是n阶矩阵,且A2=E,证明R(A+E)+R(A-E)=n所以R(A+E)+R(A-E)=n证明：由A2=E得：练习：设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0证明:(A-3E)可逆;并求(A-3E)-1习题选讲解(1)：解(2)：证：解：P80-21证：例题设A为mn阶矩阵，证明:证：三、自测题(一)填空题48(二)选择题3.若一个n阶方阵A的行列式值不为零，则对A进行若干次矩阵的初等变换后，其行列式的值[](A)保持不变;

6、(B)可以变成任何值;(C)保持不为零;(D)保持相同的正负号5.设A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩是()(A)必有一个等于0(B)都小于n(C)一个小于是n,一个等于n(D)都等于n7.当A等于()时,8.设A为n阶可逆矩阵,下列()恒正确.(三)计算题且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E求X.(四)证明题1.设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0证明:(A-3E)可逆;并求(A-3E)-12.设A为n阶非零方阵;A*是A的伴随阵,AT是A的转置矩阵证明:当AT=A*时,A可逆.作业：及时完成CH3大作业下节内

7、容：CH4§1请大家做好预习！