线性代数课件-第三章-矩阵的初等变换与线性方程组——习题课.ppt

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1、线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．反身性传递性对称性２矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长

2、度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．定义７矩阵的秩定义定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理定理定理９线性方程组有解判别定理齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写

3、出通解．非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所

4、以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．例１求下列矩阵的秩解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组例２求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其成为行最简单形．由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量

5、.例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵的行列式为从而得到方程组的通解解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法例４求下述矩阵的逆矩阵．解注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．四、解矩阵方程的初等变换法或者例５解第三章测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．1．若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解．2．齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是．4．线性方程组有解的充要条件是二

6、、计算题(第1题每小题8分，共16分；第2题每小题9分，共18分；第3题12分)．2．求解下列线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解．三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵四、证明题(每小题8分，共16分)(每小题7分，共14分)．测试题答案