线性代数—矩阵的初等变换

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1、第四节矩阵的初等变换1定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．2初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换定义由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列3种:3(1)对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列4(2)对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.5(3)对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.6(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初

2、等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理设A为阶矩阵，证略。例17初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：8等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作定义9定理任意一个矩阵A都与一个形式为的矩阵等价，称之为A的标准形。证略。10将下列矩阵化为标准形.例2(1)解1112若方阵A可逆，则它的标准形必为单位矩阵，初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是其中均为初等矩阵，可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。由得其中均为初等矩阵，13可逆阵可经过若干次初等行

3、变换化为单位矩阵。表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为利用初等变换求逆阵的方法：14解例31516即初等行变换17例4解181920例5解假设矩阵A和B满足关系式：其中求矩阵B。2122于是因此23例5或解假设矩阵A和B满足关系式：其中求矩阵B。24列变换行变换从而获得Y。25例6解求解下列矩阵方程：转置，26练习：P69习题二27