矩阵初等变换在线性代数中的应用

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1、矩阵初等变换论文：矩阵初等变换在《线性代数》中的应用摘要：矩阵初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。本文总结了初等变换在求逆矩阵、矩阵的秩、向量组的秩，求解线性方程组，以及标准正交基等问题中的应用。关键词：矩阵初等变换矩阵的逆向量组的秩矩阵初等变换起源于解线性方程组，是研究矩阵的一个非常重要的工具.除线性方程组外，还有大量各种各样的问题提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的，表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使得矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特

2、别是线性代数的一个主要的研究对象.利用初等变换将矩阵a化为形状简单的矩阵b，通过b来探讨a的某些性质，是研究矩阵的常用方法.矩阵的行（列）初等变换包括三种：1.交换矩阵的两行（列），简称为位置变换；2.将矩阵的某行（列）乘以一个非零常数，简称为倍法变换；3.矩阵的某行（列）加上另一行（列）的非零常数倍，简称为消法变换.根据变换的是行还是列分别叫初等行变换和初等列变换，统称为初等变换.一、求逆矩阵因为三种初等变换都不会改变一个方阵a的行列式的非零性，所以如果一个矩阵是方阵，我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆来判断原矩阵是否可逆.将矩阵a和单位矩阵e拼成一个n行2n列的矩阵（

3、a，e）=aa…a10…0aa…a01…0……………………aa…a00…1，对矩阵（a，e）施行初等变换，当矩阵（a，e）的左半部分化为单位矩阵e时，右半部分就化为a.注意在用初等变换的方法求逆矩阵时必须是初等行变换，不能是初等列变换.另一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法计算量较大且容易出现计算错误，相比之下用初等变换求逆矩阵的方法更为简单实用.二、解矩阵方程1.易知ax=b型的矩阵方程解为x=ab，又a（a，b）＝（e，ab）即对矩阵（a，b）作初等行变换，当把a化为e时，b就化为ab.2.易知xa=b型的矩阵方程解为x=ba，又aba=eba即对矩阵ab作一系列初等列变换，当把

4、a化为e时，b就化为ba.三、求矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组把矩阵用初等行变换变成行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵中非零行的行数即为该矩阵的秩.向量组的秩即该向量组极大无关组所含向量的个数，而矩阵的秩等于其行向量的秩，也等于其列向量的秩，所以求向量组的秩即求矩阵的秩.例：求下列向量组的一个极大无关组、秩.α=（2，1，4，3），α=（-1，1，-6，6），α=（-1，-2，2，-9），α=（1，1，-2，7），α=（2，4，4，9）解：（α，α，α，α，α）=2-1-11211-2144-62-2436-97911-21401-1100001-300000故α，α，α为向量

5、组的一个极大无关组，原向量组的秩为3.四、求解线性方程组把线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解.若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其解.例：讨论线性方程组x+x+2x+3x=1x+3x+6x+x=33x-x-px+15x=3x-5x-10x+12x=t当p，t取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下，求出一般解.解：b=11231136133-1-p1531-5-1012t11231012-1100-p+2240003t+5（1）当p≠2时，r（a）=r（b）=4，方程组有唯一解;（2）当p=2时，有b11231012-110

6、00240003t+511231012-11000120000t-1.当t≠1时，r（a）=3＜r（b）=4，方程组无解;当t=1时，r（a）=r（b）=3，方程组有无穷多解，且b1000-8012030001200000与原方程组同解的方程组为x=-8x+2x=3x=2.令x=k，故原方程组的通解为xxxx+k0-210+-8302.五、求标准正交基利用schmidt方法，可以从欧氏空间的任意一个基出发，求出一个正交基，再单位化，求出一个标准正交基.但正交化的过程计算繁琐.其实利用矩阵的初等变换，也可以从欧氏空间的任意一个基求标准正交基.本文介绍了矩阵的初等变换在求矩阵的逆

7、，矩阵的秩，向量组的秩，向量组的极大线性无关组、解线性方程组等问题中的应用，并给出了部分例子.实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求过渡矩阵、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法.参考文献：［1］同济大学应用数学系编著.线性代数（4版）.北京：高等教育出版社，2003.［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（2版）.北京：高等教育出版社，1998.［3］刘显凤.矩阵的初等变换在线性代数中的应用.科技信息，2010.［4］倪臣敏，孙逊.矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用.