矩阵的初等变换在多项式理论中的应用

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1、矩阵的初等变换在多项式理论中的应用杨纯富(重庆文理学院数学与计算机科学系,重庆永川402160)[摘要]应用矩阵初等变换的一些性质解决了求带余除法中的商和余式、求两个多项式的最大公因式以及判定一个多项式有无重因式等问题.[关键词]矩阵;初等变换;最大公因式[中图分类号]O151[文献标识码]A[文章编号]1673-8012(2008)03-0055-03《高等代数》课程是大学数学专业的基础课,而多项式理论则是高等代数中学生最先接触的内容.很多学生在学习了多项式理论后,虽然掌握了求两个多项式的最大公因式、判定一个

2、多项式有无重因式等问题的基本方法———辗转相除法,但此法书写形式较繁琐,计算量较大.若从另一个角度出发,运用矩阵初等变换的方法处理这些代数问题,则有事半功倍之效.本文运用矩阵的有关知识和方法解决关于多项式的一些问题.本文中的初等变换指的是多项式环P[x]上的以下3种变换:(1)互换矩阵中两行的位置;(2)以P[x]中一个零次多项式乘矩阵的某一行;(3)把矩阵的某一行的p(x)倍加到另一行,这里p(x)是P[x]中的任意一个多项式.以上3种初等行变换对应3类初等矩阵,除第3种情况外,其余2类与数域P上的初等矩阵相

3、同,而第3类只需将数域P上的初等矩阵中的k换为k(x)即可.1用矩阵的初等变换求商和余式f(x)g(x)r(x)g(x)-q(x)01定理1设有多项式矩阵,其中g(x)≠0,经过行初等变换化为:,1则f(x)=q(x)g(x)+r(x),并且当g(x)去除f(x)所得的商和余式.例1设f(x)=x3-3x2-x-余式r(x).5(r(x))<5(g(x))或者r(x)=0时,这样的q(x),r(x)就是1,g(x)=3x2-2x+1.求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及解构造矩阵并作初等行变换,得:26x

4、-21x-3x-3x2-x-10f(x)g(x)01-→99-2x+13,从而有:=3x2-2x+113x21q(x)=1x-7,r(x)26x-2.=-39例2设f(x)=3x4-992x-2x+1,试求f(2).2=x-3x21解由实系数多项式的性质知,2与2都是g(x)-2x+11-2的两个根,用g(x)去除f(x)得:-3x42x2xf(x)g(x)01-2x+10-5-→=,2x-21-23[收稿日期]2008-03-27[作者简介]杨纯富(1965-),男,重庆江津人,副教授,从事群论和数学教育研究

5、.5579则f(x)=q(x)g(x)+r(x)=(3x2+5)(x2-2)+(-2x+11),并有f(2)=r(2)=-22+11.2用矩阵的初等变换求最大公因式求两个多项式的最大公因式及判定两个多项式有无重因式的基本方法都是辗转相除法,而辗转相除法的实质则是反复利用带余除法,再由定理1,可用矩阵的初等变换来求两个多项式的最大公因式以及判定两个多项式有无重因式.两个多项式f(x),g(x)的最大公因式有如下性质:性质1性质2性质3(f(x),g(x))(f(x),g(x))(f(x),g(x))=(g(x),

6、f(x)).=(f(x),cg(x))(c≠0).=(f(x)+c(x)g(x),g(x)).由性质1、2、3易见,交换多项式矩阵两行的位置,以非零数乘以某一行,以某一行的非零多项式倍加到另一行上,均不会改变两个多项式f(x),g(x)的最大公因式.f(x)g(x)d(x)0定理2设多项式矩阵经过行初等变换化为,则d(x)就是f(x)与g(x)的一个f(x)g(x)最大公因式.即对作初等行变换,不会改变f(x),g(x)的最大公因式.然而,上述方法虽然可求得f(x)与g(x)的一个最大公因式,但不能求出使d(x

7、)=f(x)u(x)+g(x)v(x)的多项式u(x)与v(x).为此,给出如下定理:f(x)g(x)d(x)0u(x)s(x)v(x)t(x)1001定理3设多项式矩阵经过行初等变换化为,则d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),且d(x)为f(x)与g(x)的最大公因式.f(x)g(x)1001f(x)g(x)1001d(x)0u(x)s(x)v(x)t(x)证明对作初等行变换,则一定可化为,即存在一系列初等矩阵P1(x),P2(x),,Pl(x)使得:f(x)g(x)f(x)g(x)1001d(x)

8、0u(x)s(x)v(x)t(x)P1(x)P2(x)Pl(x).=d(x)0v(x)t(x)u(x)s(x)v(x)t(x)1001于是P1(x)P2(x)Pl(x),P1(x)P2(x)Pl(x)===u(x)s(x)f(x)g(x)d(x)0Pl(x),即P1(x)P2(x).=所以有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)=(d(x),0)=(f(x),g(x)).上面给出