2.1.1数轴上的基本公式

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1、必修2第二章：平面解析几何初步原先的几何是研究图形，而在17世纪前半叶，法国数学家笛卡儿首次把几何图形放在坐标系中研究，用坐标法研究几何图形，用方程表示曲线，把代数和几何紧密结合起来，并运用数形结合的方法，使数学成为了一个双面的工具。众所周知数学的两大问题是代数问题和几何问题。在一条高速公路上距离出发点的一个以千米为单位的数就可以确定车的位置，请问在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告他的位置？思考：一维直线二维平面三维空间数轴平面直角坐标系空间直角坐标系用数字或其符号来确定一个点或物体的位置的方法叫

2、坐标方法.用数来刻画形的方法.用数量关系(方程、函数、不等式)研究图形性质(平行、垂直、成角、长度、距离…).解析法解析几何研究问题的一般过程：几何对象的性质、位置关系几何问题代数问题代数问题的解坐标法还原运算推理点P有序数对（x，y）直角坐标系适合某条件曲线CXy满足某关系方程F（x，y)=0代数化几何特性代数特性对应解析几何研究问题的一般方法：坐标法2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式点的坐标线段的中点坐标公式线段的长度d(A,B)2.1.2平面直角

3、坐标系中的基本公式点的坐标线段的中点坐标公式线段的长度d(A,B)两点间的距离公式当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线BB1和AA2相交于点C。C在直角△ACB中，

4、AC

5、=

6、A1B1

7、=

8、x2－x1

9、，

10、BC

11、=

12、A2B2

13、=

14、y2－y1

15、，C由勾股定理得

16、AB

17、2=

18、AC

19、2+

20、BC

21、2=

22、x2－x1

23、2+

24、y2－y1

25、2，由此得到计算两点间距离的公式：d(A，B)=

26、AB

27、

28、当AB平行于x轴时，d(A，B)=

29、x2－x1

30、；当AB平行于y轴时，d(A，B)=

31、y2－y1

32、；当B为原点时，d(A，B)=d(A，B)=

33、AB

34、勾股定理的坐标形式二维化一维的思想（化斜为直）注：若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).例1.已知A(2,－4)，B(－2,3)，求d(A,B),AB的中点坐标,A关于点B对称点的坐标.典例剖析：练习．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。则解得所以点D的坐标是(0,4).设D点的坐标为

35、(x，y)，变式练习：△ABC中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）求三角形ABC的重心G坐标.例2：已知□ABCD，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，所以AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab=2(2a2+b2+c2－2ab)，AB2

36、+AD2=2a2+b2+c2－2ab，所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，二.坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.解析几何研究问题的一般过程：几何对象的性质、位置关系几何问题代数问题代数问题的解坐标法还原运算推理??用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.例3.求函数y=的最小

37、值.解：函数的解析式可化为令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得

38、PA

39、+

40、PB

41、取最小值.A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，∵即函数y=的最小值为解析几何是研究问题的双面工具：几何对象的性质、位置关系几何问题代数问题代数问题的解坐标法还原证明推理??