2016春季班提高班第1讲讲义.pdf

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1、+第一讲：勾股定理知识导航：前铺知识：长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）三角形进阶———四年级暑假第2讲（第7级上）本讲内容：常见勾股数及辅助线勾股定理及其重要模型有趣的路径问题后续知识：图形综合——六年级暑假第8讲（第11级上）模块一：常见勾股数及辅助线知识剖析：在直角三角形当中，两直角边长为a、b，斜边长为c。cab222则abc，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。常见勾股（整）数：ak3，bk4，c5k；a5k，bk12，ck13；a3k，b

2、4k，c5kabc3k4k5k5k12k13k7k24k25k9k40k41k8k15k17k2222勾股数通解：a()uvk，bu2vk，cuv()k，这里u,v,k都是整数.【教学提示】课件设置了动画解释勾股定理的证明方法，建议教师提前查看课件内容。例1：(1)如图，求出下列未知边的长度。133？54？(2)如图，求下列图形的面积。2016年-春季-五年级-A版1+1313010381204【解析】(1)5；12.(2)68224；1205023000；34251

3、2236.练一练：求下图三角形（最大的）的周长和面积。151312【解析】底边长是9+5=14，周长就是15+14+13=42，面积是1412284.例2：(1)下面的折线A-B-C-D-E，相邻线段都是是垂直的，并且AB=7，BC=11，CD=13，DE=4，求A、E两点的距离。DEBCA(2)求下列梯形的周长和面积。651013121511【解析】(1)如下图，延长AB、ED交于点K，可知AK=AB+CD=15，KE=BBC+DE=20，在直角三角形AEK中根据勾股定理可得AE=2

4、5.2016年-春季-五年级-A版2KDEBCA(2)如下左图，过点D作BC垂线，垂足为E，那么BE=5，EC=6，，△DEC中根据勾股定理可知DE=8，则AB=8，图形周长是5+8+11+10=34，面积是(511)8264.类似的下右图中，作两条高，根据勾股定理得到各线段长度，图形周长是6+13+20+15=54，面积是(620)122156.65AD101315BC5E6569拓展一块木板如图所示，已知AB=3，BC=4，DC=13，AD=12，求木板的面积。。ABDC222

5、【解析】连接AC,根据勾股定理得AC5,又因为51213,所以三角形ACD为直角三角形,因此木板的面积为512234224．ABDC【教学提示】此例题主要涉及一些常见辅助线，目的都是构造直角三角形以利用勾股定理.拓展题涉及到勾股逆定理，视情况补充.练一练：两根旗杆竖直插在地面上，高度分别是12米、18米，底端距离8米，两根旗杆的顶部相距多少米？2016年-春季-五年级-A版3+DAEBC【解析】如图连接AD，过点A作CD垂线，垂足为E，由于DE=CD-EC=CD-AB=6米，A

6、E=BC=8米，所以AD=10米，顶部相距10米.模块二：勾股定理及其重要模型知识剖析：有时候数据并非能使我们具体求出边长，但根据勾股定理我们能得到边长平方的值，或者说以这条边长为边的正方形面积。三方模型：S3S1S2则有SSS123例3：(1)下列两个图形都是以直角三角形ABC的三边为边长向外作三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积。A？A？336BCBC64142【解析】左图：容易知道ABB=6，BC=8，，所以AC=10，大正方形面积是10=100.22右图：我们并

7、不能求出AB、BC的实际长度，但我们知道AB3，BC14，根222据勾股定理：ACABAC31417，直接得到大正方形面积是17.2016年-春季-五年级-A版4(2)如图在美丽的毕达哥拉斯树中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，最大的正方形面积是15，那么所有的正方形面积总共是多少？15【解析】每向外扩张一次，增加的正方形面积就会等于最大的正方形面积积，一共扩张了3次，总面积为15+15×3=60.【拓展】下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外作半圆得到，半圆内的数表

8、示所在半圆的面积，求未知半圆面积。C157AB?1a22【解析】设BC=a，AC=b，AB=c，以BC为直径的半圆面积S为()a，以AC为12281b221c22直径的半圆面积S为()b，以ABB为直径的半圆面积S为()c，23228228根据勾股定理可知SSS，所以以ABB为直径的半圆面积为7+15=22.123下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外作半圆得到，形成两个月牙形图案（阴影部分），已知AAC=10，BC=6，求阴影部分面积。CAB【解析】