论均质半圆环 半圆盘 半球体质心的求法.pdf

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1、２０１８年第７期物理通报竞赛与物理专题研修论均质半圆环半圆盘半球体质心的求法刘红（重庆市第一中学校重庆４０００３０）（收稿日期：２０１７－０１－０１）摘要：巴普斯定理和微积分思想是求物体质心的重要方法．本文用对均质半圆环、半圆盘、半球体质心的多种求法，展示了无穷分割和求和的微积分思想，意在表现巴普斯定理和微积分思想的精妙，给学生思维上的引导和启迪，促进多学科知识的融合．关键词：巴普斯定理质心微元高中物理研究的物体一般可以看作质点，所谓质点就是有质量但不存在体积或形状的点，是物理学的一个理想化模型．物体

2、的实际运动往往要复杂得多，我们要研究这个物体的整体运动，就只需找到这个物体的质量中心即质心（质心，指物质系统上被图２质心的定义认为质量集中于此的一个假想点）的运动即可．物体ｎ任何一部分的运动一般都可分解为质心的运动和物∑ｍｉｒｉｉ＝１ｒｃ＝ｎ体的该部分相对于质心的运动，如图１所示的跳水∑ｍｉ运动员的运动就是如此．ｉ＝１ｎｎｎ∑ｍｉｘｉ∑ｍｉｙｉ∑ｍｉｚｉｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１ｘｃ＝ｎｙｃ＝ｎｚｃ＝ｎ∑ｍｉ∑ｍｉ∑ｍｉｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１２巴普斯定理（１）在一平面上取任一闭合区域，其面积为Ｓ，图１跳水运动员的

3、运动使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个体积为Ｖ多个物体组成的质点组中任何一个物体的运动的立体，那么这个立体图形的体积就等于质心所经一般都可分解为质点组质心的运动和该物体相对于路程ｒ乘以区域面积．表达式为Ｖ＝Ｓｒ．质点组质心的运动．所以求物体或质点组的质心就（２）设某一长为Ｌ的曲线段，让它沿着垂直于显得特别重要．在对学有余力的高中生进行物理竞它所在平面的方向扫过一个面积Ｓ，那么这个面积赛培训时，就会涉及到求物体的质心．的大小就等于线段的质心移动的距离ｒ乘以线段的本文就均质半圆环、半圆盘、半球体质心的求

4、法长度．表达式为Ｓ＝Ｌｒ．做一些探讨，以期在这方面有一点作用．因为面对的【例１】已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ．求它的是中学生，所以微元的选取只限于一维情况．质心位置？方法一：巴普斯定理１质心的定义据半圆环的对称性知它的质心在对称轴上，设质心距圆心距离为ｒ．让半圆环绕着它的直径旋转如图２所示的物体组，参考位置为Ｏ．３６０°，形成一个空心球，如图３所示．半圆环扫过的面积为Ｓ＝４πＲ２，质心走过的路程Ｌ＝２πｒ，半圆环的—５６—２０１８年第７期物理通报竞赛与物理专题研修长度为πＲ．据巴普斯定理有４πＲ２半圆

5、环上微小长度为Ｒ·Δθ，设半圆环单位长＝πＲ·２πｒ，得到２度的质量为λ，则ｒ＝Ｒ．πＭλ＝πＲ据质心的定义有π２（λ·２Ｒ·Δθ）ｙ∑０ｙｃ＝ｒ＝＝Ｍππ２２图３半圆盘绕直径３６０°形成空心球（λ·２Ｒ·Δθ）Ｒｓｉｎθ２λＲ２ｓｉｎθΔθ∑∑００方法二：旋转法＝ＭＭ据半圆环的对称性知它的质心在对称轴上，设质π２心距圆心距离为ｒ．让半圆环绕它的直径在半圆环平２２λＲ∑（Δｃｏｓθ）面内转过一个极小角度Δθ（Δθ→０），如图４所示．所以ｙ０ｃ＝ｒ＝－＝Ｍ２π２λＲ（ｃｏｓ－ｃｏｓ０）２２２λＲ－＝ＭＭ

6、Ｍ代入λ＝πＲ图４半圆环转过一个极小角度２可得ｒ＝Ｒπ则质心整体向右移ｒ·Δθ，这样左边少了Ｒ·【例２】已知半圆盘质量为Ｍ，半径为Ｒ．求：它Δθ长部分，右边多了Ｒ·Δθ长部分．设半圆环单位的质心位置？Ｍ长度的质量为λ，则λ＝．据质心的定义有πＲ方法一：巴普斯定理ｘｃ＝ｒ·Δθ＝据半圆盘的对称性知它的质心在对称轴上，设（－λ）Ｒ·Δθ·（－Ｒ）＋Ｍ·０＋λＲ·Δθ·Ｒ２λＲ２Δθ质心在圆盘上距圆心距离为ｒ．让半圆盘绕着它的直＝ＭＭ径旋转３６０°，形成一个实心球，如图６所示．半圆盘Ｍ３４πＲ代入λ＝扫过的

7、体积为Ｖ＝，质心走过的路程Ｌ＝２πｒ，πＲ３２２就得ｒ＝Ｒ半圆盘的面积为πＲ．据巴普斯定理，有π２方法三：微元法４πＲ３πＲ２＝·２πｒ据半圆环的对称性知它的质心在对称轴上，即３２在图５的ｙ轴上．设质心距圆心距离为ｒ（即ｙｃ＝ｒ）．得到ｒ＝４Ｒ３π图５质心在ｙ轴上半圆环上任意一点的坐标图６半圆盘绕直径旋转３６０°形成空心球ｘ＝Ｒｃｏｓθｙ＝Ｒｓｉｎθ方法二：等效半圆环—５７—２０１８年第７期物理通报竞赛与物理专题研修半圆盘可以看成有无数多个半圆环组成，如图ππ３２３２２σＲ３２σＲ３２Ｍ，据质心－３Ｍ

8、∑Δ（ｃｏｓθ）＝－３Ｍ∑Δ（ｃｏｓθ）＝７所示．设半圆盘单位面积的质量为σ＝００２πＲ３３２σＲ３π３２σＲ的定义和半圆环的质心位置有－（ｃｏｓ－ｃｏｓ０）＝３Ｍ２３ＭＲ２ｘ（σ·πｘ·Δｘ）２Ｍ∑０π代入σ＝２ｙｃ＝ｒ＝＝πＲＭ４Ｒ就得ｒ＝Ｒ２３π２σ∑ｘΔｘＲ０２σ３）＝２σ（Ｒ３３）【例３】已知半球质量为Ｍ，半径为Ｒ．求：它的＝∑Δ（ｘ－０Ｍ３Ｍ０３Ｍ质心位置．２σ３ｙｃ＝ｒ＝Ｒ方法一：巴普斯定理３Ｍ据半球的对称性知半球的质心在其对称轴上，半径为