数学第三单元第一讲 不定积分.doc

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1、第一讲不定积分一、原函数的概念我们已经研究了一元函数的微分学，但在很多的科学技术与实际问题中，常常需要研究与它相反的问题，这就是由已知某函数的导数，求这个函数。例如在一个电容为的纯电容电路中，如图所示，已知电容器两端电压为，求通过电容器的电流。由电工学可知。现在提出一个与上面相反的问题，即已知通过电容的电流为，求电容器两端电压。也就是说，要求一个函数，使得。上述问题从数学的角度讲，就是已知函数的导数，求原来的函数。由此，我们给出如下定义：定义设是定义在某一区间内的已知函数，如果存在函数，使得在该区间内的任意一点，都有则称为函数的一个原函数。例如因为，所以是的一个原函数。又

2、因为，，，其中为任意常数，所以，，等都是的原函数，可见的原函数有无限个，且其中任意两个原函数之间相差一个常数。结论：如果是的一个原函数，那么（为任意常数）就是的全部原函数（称为原函数簇），并且其中任意两个原函数的差都是常数。例1求下列函数的原函数簇：（1）；　　　　（2）。解（1）因为，所以是的一个原函数，而是的原函数簇。（2）因为，所以是的一个原函数，而是的原函数簇。二、不定积分的定义和性质1．定义如果是函数的一个原函数，则的全部原函数称为的不定积分，记为，即。其中：——积分号；——被积函数；——积分变量；——被积表达式。方法：求函数的不定积分，只需求出的一个原函数，然

3、后加上任意常数即可。在不混淆的情况下，不定积分也简称积分。求已知函数的不定积分的运算称为对这个函数进行积分运算，所采用的方法称为积分法。例2求下列不定积分：（1）；　　（2）；　　（3）。解（1）当时，无意义；当时，，所以；当时，，所以；综合得，。（2）因为，所以。于是。（3）因为，所以，于是。例3验证下列各不定积分的正确性：（1）；（2）。解（1）因为，而且（1）式右端含有任意常数，所以原等式成立。即。（2）因为，而且（2）式右端含有任意常数，所以原等式成立。即。练习：1、2、3、2．不定积分的两个性质设：性质1　　或。性质2　或。例4用不定积分的性质填空：（1）；（2

4、）；（3）；（4）。解（1）由性质1得；（2）由性质1得；（3）由性质2得；（4）由性质2得。三、不定积分的几何意义由已知曲线方程求它切线的斜率是导数运算；反之，由已知曲线的切线的斜率来求曲线方程则是不定积分运算。我们先看下面的例子：例5设曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率是，求此曲线的方程。解设所求的曲线方程是，由导数的几何意义有，所以。即。由于所求的曲线过点，将代入中，解得，于是所求的曲线方程为。我们从几何上看，抛物线簇，可由其中一条抛物线沿着轴平行移动而得到，而且在横坐标相同的点处，它们的切线互相平行。通常称函数的图形是函数的一条积分曲线，称函数簇的图形是函数的

5、积分曲线簇，如图所示。本课小结：1．原函数及原函数簇的概念；2．不定积分的定义与性质，以及微分与积分的区别；3．不定积分的几何意义：通过一条积分曲线沿轴方向作平移所得到的全体曲线组成的积分曲线簇便得到不定积分的图像，这些曲线的特点就是在同一处的切线相互平行。本课作业：1．根据不定积分的定义，验证下列等式：(1)；（2）；（3）。2．已知一曲线经过点，且曲线上任一点处的切线斜率与该点的横坐标的平方成正比，比例系数为，求此曲线的方程。结论：一般地，函数的一个原函数，在几何上表示为一条积分曲线。而的不定积分则表示将一条积分曲线沿轴方向作平移所得到的全体曲线组成的积分曲线簇，这些

6、曲线在同一处的切线相互平行，如图所示。第二讲不定积分的基本公式和运算法则、直接积分法一、基本积分公式由定义我们知道，积分就是微分的逆运算，因此可以由导数公式得到相应的积分基本公式。123（为常数）（为常数）4567891011121314例1求下列不定积分：（1）；（2）；（3）。解（1）；（2）；（3）。从例子我们知道：如果被积函数是分式或根式，应该先把它转化为的形式，然后再应用幂函数的积分公式来进行计算。二、不定积分的运算法则对于复杂函数的不定积分，我们可以把它分解成基本的不定积分来求。因此我们给出不定积分的运算法则：法则1上述法则可以推广到有限多个函数代数和的情形，

7、即。法则2（为常数且）以上两个法则，用不定积分的定义很容易证明（证明略）。例2求。解。三、直接积分法在求积分的问题中，如果能直接利用不定积分的基本公式和运算法则就能求出结果，或者对被积函数进行适当的变形，再利用基本公式和运算法则就能求出结果，这种求不定积分的方法称为直接积分法。例3求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）；（2）；（3）；（4）。例4求。解。例5求。解。例6求。解。例7求。解。例8已知物体以速度作直线运动。当时，物体经过的路程为，求物体的运动规律。解设所求的物体运动规律为，于是有，所以。已知时，