数学高一三角函数.doc

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1、三角函数的图象和性质(一)撰稿：皇甫力超　　　审稿：安东明　　　责编：张杨目标认知学习目标　　1.掌握正弦、余弦函数、正切函数的图象和性质；　　2.学会“五点作图法”；　　3.理解周期性的概念；　　4.掌握研究函数的一般方法，并在用研究函数的一般方法研究正弦函数的过程中，体会数形结合的数学思想；　　5.在研究过程中培养归纳和化归的能力；　　6.培养抓住事物间联系进行转化的思想.学习重、难点　　正弦函数的图象和性质，五点作图法.学习内容正弦函数和余弦函数的图象和性质一、正弦函数的图象和性质　　研究正弦函数的主要思路有两个：一是利用三角函数线，描点作图，利用函数

2、图象研究性质；二是按照研究函数的一般方法研究正弦函数性质，再根据性质作出函数图象.正弦函数性质如下表所示：y=sinx定义域值域奇偶性单调性周期性R[-1，1]奇函数由诱导公式易推导在上单调增在上单调减可以利用三角函数线进行观察和研究得到T=2可以根据诱导公式得到　　根据正弦函数的性质，可以做出正弦函数(一个周期内的)图象如下：　　　　　　　　　　　　　　　　　　说明：　　(1)正弦函数定义域为R，没有任何限定；　　(2)正弦函数是奇函数，因此可以先作出区间上的函数图象，然后根据奇函数的性质对称得到整个定义域上的图象；　　(3)正弦函数是周期为，因此只需要关

3、注一个周期(例如)的图象即可；　　(4)因为，所以点是正弦曲线的一个对称中心.因此只需作出区间[0，]上的正弦曲线，然后利用中心对称即能作出区间[0，2]上的正弦曲线.事实上，正弦曲线的对称中心为；　　(5)因为，所以直线是正弦曲线的一个对称轴.因此只需作出区间上的图象，然后利用轴对称性得到区间上的图象.事实上，正弦曲线的对称轴为；　　(6)一般常用五点法作图作出正弦曲线的草图.具体操作办法：列表计算，然后描出函数图象的五个关键点(最值点和平衡位置点)，再结合函数值在各个特殊点附近的变化趋势，即可大致描绘出正弦函数的图象.二、余弦函数的图象和性质　　在研究余

4、弦函数的图象和性质时，可以类比正弦函数图象和性质的研究办法：一是描点作图，利用图象读性质；二是研究性质，利用性质作图.考虑到正弦函数和余弦函数的关系，可以有更简单的做法：平移正弦函数图象(向左平移)得到余弦函数的图象，然后由图象观察余弦函数的相关性质.　　余弦函数图象：　　　　　　　　　　　　　　　　　　余弦函数性质：y=cosx定义域值域奇偶性单调性周期性R[-1，1]偶函数也可以由诱导公式易推导在上单调减在上单调增也可以利用三角函数线进行观察和研究得到T=2也可以根据诱导公式得到典型例题　　1.求下列函数的定义域：　　(1)；　　(2)；　　(3).　　

5、【解析】　　(1)由题，所以有　　　　.　　　　即.所以函数的定义域为.　　(2)由题，解不等式得：.　　(3)由题，容易解得.　　2.求函数的值域：　　(1)；　　(2).　　【解析】通过换元方法转化为熟悉的函数类型来处理，注意换元后新元的取值范围.　　(1)令.　　　　.　　　　.　　(2)令在[-1，1]上函数单调增.　　　　.　　　　.　　3.求下列函数的单调增区间：　　(1)y=cos2x；　　(2)；　　(3).　　【解析】　　(1)当单调递增.　　　∴y=cos2x的单调增区间为.　　(2)当，　　　　单调递增.∴该函数的单调增区间为.　　(3

6、)单调减时单调递增.　　　令，解得.　　　的单调增区间为.　　4.判断下列函数的奇偶性：　　(1)；　　(2).　　【解析】　　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称.又　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴函数f(x)为奇函数.　　(2)由题可得，即，所以.　　　定义域关于原点对称.　　　因为，∴f(x)为奇函数.正切函数的图象和性质　　可以类比正弦函数图象和性质的研究方法得到正切函数的图象和性质.　　(1)定义域：；　　(2)值域：；　　(3)周期性：；　　(4)单调递增区间：；　　　　　　　　(5)奇偶性：是奇函数(由于tan(-x)=-tanx)；

7、　　(6)对称性：y=tanx图象是中心对称图形，其对称中心是.典型例题　　1.求下列函数的定义域：　　(1)；　　(2).　　【解析】　　(1)利用“换元法”求解.令，则函数y=tanz的定义域为.　　　　，　　　　故函数.　　(2).　　　　.　　　　所以函数的定义域为.　　2.函数.　　【解析】.　　　　　　由于y=tanx在上是增函数，且：　　　　　　，　　　　　　.即，　　　　　　填.　　3.函数的递增区间是(　)　　A.　　　　　　　　　　　B.　　C.　　　D.　　【解析】由，选C.　　4.求函数的单调递减区间.　　　　　　　　　　【解析】先考

8、虑基本的正切函数图象，后写出单调区间.　　　　　　作