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1、正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)===tanx(其中x≠kπ+,k∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=,要使tanx有意义，必须cosx≠0,从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-,).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(-,)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx 2.余切函数的图像如下：y=cotx 3
2、.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx余切函数y=cotx定义域{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}{x｜x∈R且x≠kπ,k∈z}值域RR周期性ππ奇偶性奇奇单调性每个区间(kπ-,kπ+)上递增(k∈Z)每个区间(kπ,(k+1)π)上递减(k∈Z).注：正切函数在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=
3、tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+(k∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即
4、先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像.解：由于y=｜tanx｜
5、=tanx,x∈Z［kπ,kπ+］-tanx,x∈(kπ-,kπ)(k∈Z)所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+(k∈Z);单调减区间为kπ-,kπ］(k∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为.例2求函数y=lg(tanx-)+的定义域.解：欲使函数有意义，必须tanx＞,2cosx+≥0,x≠kπ+(k∈Z)由此不等式组作图 ∴函数的定义域为(kπ+,
6、kπ+).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域. 例3求函数y=tan(2x-)的单调区间.解：y=tanx,x∈(-+kπ,+kπ)(k∈Z)是增函数.∴-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z.即-+＜x＜+，k∈Z函数y=tan(2x-)的单调递增区间是(-+,+).(k∈Z) 例4求
7、函数f(x)=tan(2x+)的周期.解：因为tan(2x++π)=tan(2x+)即tan［2(x+)+］=tan(2x+)∴tan(2x+)的周期是. 例5求函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标.分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.解：由2x+=,(k∈Z)得x=-(k∈Z)∴对称中心坐标为(-,0)(k∈Z)注意：函数y
8、=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究. 【难题巧解点拔】例判断函数f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}它是关于原点对称.又f(-x)=t
