初中数学巧用增根的性质解题学法指导学法指导.doc

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1、把一件平凡的事情做好就是不平凡，把一件简单的事情做好就是不简单初中数学巧用增根的性质解题在解分式方程时可能会产生增根，分式方程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，方程两边所乘的最简公分母为零造成的，因此分式方程的增根具有以下两条性质：（1）能使分式方程的最简公分母为零；（2）是由分式方程化成的整式方程的根。例1.若关于x的方程有增根x=2，求m的值。分析：既然原分式方程有增根x=2，所以x=2是原分式方程通过去分母之后所化成的整式方程的根，于是把原分式方程化为整式方程，再把x=2代入，即可求出m的值。解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得，①把x=2代入①，得，解得。

2、例2.若关于x的方程有增根，求m的值。分析：若原分式方程有增根，则增根只能是x=1或x=2，通过把x=1或x=2代入由原分式方程所化成的整式方程，即可求出m的值。解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得，①因为分式方程有增根，只能是x=1或x=2，把x=1代入①，得；把x=2代入①，得。所以m的值为或。例3.当m的取值满足什么条件时，关于x的方程不会产生增根？分析：此题从反面进行考虑，可先求出分式方程产生增根时m的可能值，然后把这些可能值排除掉，即要求出分式方程不产生增根时m的值。解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得。①若原分式方程产生增根，则增根一定是x=0或x=1

3、。把x=0代入①，得；把x=1代入①，得；所以当且时，原分式方程不会产生增根。例4.当k为何值时，关于x的方程无解？分析：原分式方程无解应包括两种情况：一是由原分式方程化成的整式方程无解；二是求出的整式方程的根都是原分式方程的增根。解：原方程两边都乘以，整理得。①（1）要使①无解，所以；（2）原分式方程可能会产生的增根是x=1或，在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯把一件平凡的事情做好就是不平凡，把一件简单的事情做好就是不简单把x=1代入①，k无解；把代入①，得。所以当或时，原分式方程无解。增根的妙用例1.如果方程只有一个实数根（等

4、根视为一根），试求k的值及方程的根。解：原方程去分母并整理，得：由，得：，此时是原方程的根。当时，方程（*）有两个不相等的实数根，根据题意，必有一个根是增根，而原方程的增根只可能是或。若增根是，代入（*）可得，此时方程（*）的另一根是原方程的根；若增根是，代入（*）可得，此时方程（*）的另一根是原方程的根。故当时，方程的根为；当时，方程的根为；当时，方程的根为。例2.若关于x的方程无解，且a≠b，试求的值。解：原方程去分母并整理，得：解得：或又原方程无解，故与都是增根，而原方程的增根只可能是：或或又因为a≠b，所以a与b的值只有以下六种情况：或；或；或无论在哪种情况下，总

5、有练习：（1）当m为何值时，方程无实数解。（2）若关于x的方程只有一个解，试求k的值与方程的解。答案：（1）或（2）当时，方程的解为；当时，方程的解为。在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯