初中数学须强化的几种解题意识学法指导

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1、初中数学须强化的几种解题意识数学学习离不开解题，在解题中应学会“数学”地思维。为此，须着力注意培养以下几种解题意识。一、预测意识“凡事预则立，不预则废”，面对问题要冷静思考，要冇一•定的直觉判断和预见能力。例1.已知5(a—b)+V^(b—c)+(c—a)=0(aHb),求一的值。(a-b)分析：本题要想求出待求分式的值，那么需要求出3,b,C或(C~b)f(C-d),(a-b)的值，但题设只有一个等式，直觉告诉我们要求岀上述各值是不可能的，须另寻它路，观察到题目中5与厉是平方关系，变更一下主元，利用方程思想求解，就找到了解题的方向。解：设V5=x,5=x2,从而已知式变为@

2、一b)x2+(b-c)x+c-a二0(aH/?)各项系数和a-b+b-c+c-a=0・・.方程的两个实根为x,=a/5,x2=1由根与系数的关系得:+x2=——=a/5+1,a-b二、整体意识许多数学问题，若不能从整体上加以考虑，则常使问题支离破碎。这耍求同学们在解题中耍有意识地从整体思维角度來分析、解决问题，加强复习，使所学知识融会贯通，对知识有一个整体性、系统性的把握。例2.己知y+b与兀+a(a,b为常数)成正比例，且兀二3时，y=5,兀=2时,y=2。试确定y与x的函数关系式。解：Ty+Z?与x+a成正比例+方二k(x+a),伙工0),S

3、Jy=/a+[ka-/?)<

4、1>当x=3时，)，二5；当x=2H'J,y=2,代入〈1>,得：j3k+(/ca-b)=5[2k+(ka-b)=2解Z,得：k=3,ka—b=-4于是，y与x的函数关系式为y=3x-4评注：由以上方程组要分别求出待定系数匕a,b,委实困艰因为ka-b整个相当于一次函数一般表达式y=kx+b中的常数b,所以，只有将ka-b当作一个整体看待，才能最终确定y与x的函数关系式。例3.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可运货35吨，求3吨大车与5辆小车一次可以运货多少吨？解：设1辆大车与1辆小车一次可以分别运货x,y吨，根据题意，得：J2x

5、+3y=15.5<1>[5x+6y=35<2><1>x7-<2>,得9x+15^=73.5即3x+5y=24.5,也就是3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨。评注：常规方法是通过解上述二元一次方程，先求出x,y的值，再进一步去求3兀+5y的值。但在本题中，要求的是3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨，故把3兀+5y看作一个整体，通过观察方程未知数各系数的特点，由上述方法即可一步到位，求解简捷、快速。三、目标意识明确的解题FI标是分析问题的切入点，是解题成功Z关键。解题过程中的第一次转换都应紧紧围绕解题目标，它是思维受阻、解题迷惑时的指南针。例4.已知一个直角三角形的周长是

6、5+V34,斜边上中线是2.5,求这个三角形的面积。a+b=V34a2+b2=52分析：一般的解题思路是，设两条直角边的长为a、b,则由题意可知：；：,求出a,b,再由詁求血积，这样虽然能做出來，但较复杂(有时解不出)。如果能盯住目标“詁则求出ab即可，不必分别1O求出a,b,于是由vl>-<2>2得2如9,则S=-ab=~.四、转化意识解题即意味着把原问题逐步转化为可解的冃标问题的过程。学习从数与式、数与形、特殊与一般等的转化中培养口己把复朵问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化，非常规问题常规化的能力。例5.已矢Uo+b+c=丄+丄+—=1,求证：a,b,c中至少有一

7、个等于1。abc分析：结论没冇用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。G，b,C中至少有一个等于1,也就是说G-1,b~,C-1中至少有一个等于零，这样，问题就容易解决了。证明：T丄+—4-—=1,・•.bc+ac+ab=abcabc于是@一l)(b-1)(分析：本题用直接证法或反证法都难以入手，推证过程也比较复杂。若将〈1>式变

8、形为6Z2+Z72=8c+6,则原问题就等价变换为“证明对任意的整数a与b,其平方和除以8余数都不是6”，从而找到其庐山真而口。显然，只要运用整数的性质与分类就容易证明结论成立。证明:〈1>式可化为a2+b2=8c+6,・・•整数仅可以划分为四类加,4n+l,4n+2,4n+3（/ieZ）,其平方分别为（4n）2=16/i2,（4n+l）2=16/i2+8n+l,（4n+2）2=16/?+16/1+4,（4/i+3）2=16/t2+8（3n+1）+1o它们除以8余数分别是0、1、4,因而任意两个整数的平