2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.2函数奇偶性的应用学案新人教A版必修第一册.docx

《2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.2函数奇偶性的应用学案新人教A版必修第一册.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　函数奇偶性的应用1．掌握用奇偶性求解析式的方法．2．理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式．3．理解函数的奇偶性的推广——对称性．奇函数、偶函数的性质(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0.(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．1．观察下图，思考以下问题：(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？[答案]　(1

2、)不一定．奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定(2)奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数．(　　)(2)在公共的定义域内，若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)·g(x)为奇函数．(　　)(3)偶函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0.(　　)(4)f(x)是定义在R上的奇函数的必要不充分条件是f(0)＝0.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　

3、(3)×　(4)√题型一利用奇偶性求函数的解析式【典例1】　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：(1)f(0)；(2)当x<0时，f(x)的解析式；(3)f(x)在R上的解析式．[思路导引]　借助奇函数的定义，利用x>0时的解析式，确定x<0，即－x>0时的解析式．[解]　(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝

4、－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝[变式]　若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．[解]　当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)．∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．(3)利用f(x)的奇偶

5、性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．[针对训练]1．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．[解]　当x<0，－x>0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f(x)＝题型二函数的单调性与奇偶性【典例2】　(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的

6、大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)

7、x

8、)．所以

9、不等式f(1－m)

10、1－m

11、)

12、m

13、)．又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，所以解得－1≤m<.即m的取值范围是.奇偶性与单调性综合问题的2种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称

14、区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．[针对训练]2．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是(　　)A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值