2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数学案新人教A版必修第一册.docx

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1、3．3　幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．1．y＝2x2和y＝－是幂函数吗？[答案]　不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)(2)幂函数的

2、图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　)(4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×题型一幂函数的概念【典例1】　(1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[思路导引]　紧扣幂函数的定义求解．[解析]　(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数

3、)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.(2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x

4、x≠0}．[答案]　(1)C　(2)见解析

5、判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.[针对训练]1．下列函数中不是幂函数的是(　　)A．y＝B．y＝xC．y＝22xD．y＝x－1[解析]　函数y＝22x＝4x不是幂函数，故选C.[答案]　C2．若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.[解析]　设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝

6、10.[答案]　10题型二幂函数的图象与性质【典例2】　已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[思路导引]　求出α，结合图象确定定义域和值域．[解]　由f(2)＝，得2α＝，解得α＝－2，所以f(x)＝x－2.f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．[变式]　(1)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．(2)本例中点P变为，判断函数f(x)的奇偶性与单调性．[解]　(1)由f(－x)＝(－x)－2＝x

7、－2＝f(x)，得f(x)是偶函数．(2)由f(8)＝，得8α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．解决幂函数图象问题应把握的2个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．[针对

8、训练]3．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－[解析]　令x＝2，则22>2>2>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.[答案]　B4．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．－11D．n<－1，m>1[解析]　在(0,1)内取

9、x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0