2021_2022学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数学案新人教A版必修第一册.doc

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1、优选3.3　幂函数学习任务核心素养1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.064

2、1.041根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？知识点1　幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．如何判断一个函数是幂函数？[提示](1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．1.(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)A．y＝B．y＝x3C．y＝3xD．y＝x－1ABD[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD.]9/9优选2.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，

3、则f(4)＝________.[由f(2)＝可知2α＝，即α＝－1，∴f(4)＝4－1＝.]知识点2　幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．(　　)(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　)[答案](1)×　(2)√4.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－

4、1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－19/9优选B[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]知识点3　幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

5、x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

6、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞

7、，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数常见的幂函数的图象与性质(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x－1的图象都通过点(1,1)；(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x单调递增，函数y＝x－1单调递减；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．5.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当幂指数α取1

8、,3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)(2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　)[答案](1)√　(2)×类型1　幂函数的概念【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．[解]由题意得9/9优选解得所以m＝－3，n＝.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．在函数y＝，y＝2x2，y

9、＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)A．0　　B．1　　　　C．2　　D．3B[∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．]类型2　幂函数的图象及应用【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<

10、g(x)．[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出9/9优选它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)