2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.2函数奇偶性的应用随堂巩固验收新人教A版.docx

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1、第2课时　函数奇偶性的应用1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x－1[解析]　设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x<0)．[答案]　B2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)A．f(－π)>

2、f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)[解析]　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)f(3)>f(－2)．[答案]　A3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

3、上单调递增，则不等式f(2x－1)

4、________．[解析]　∵f(a)＝2，∴a3＋＋1＝2，a3＋＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋＋1＝－(a3＋)＋1＝－1＋1＝0.[答案]　0课内拓展　课外探究一、抽象函数的奇偶性与对称性我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．那么，我们能否把这种对称性进行推广呢？1．函数图象关于直线x＝a对称的问题【典例1】　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？[解]　如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个

5、自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图象关于直线x＝a对称．证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x，y)．因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于直线x＝a对称，由此得出：函数y＝f(x)

6、对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：f(x)在定义域内恒满足的条件y＝f(x)的图象的对称轴f(a＋x)＝f(a－x)直线x＝af(x)＝f(a－x)直线x＝f(a＋x)＝f(b－x)直线x＝2.函数图象关于点(a,0)对称的问题【典例2】　当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？[解]　如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的

7、函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图象关于点(a,0)对称．证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(x，y)，则它关于点(a,0)的对称点为P′(2a－x，－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)＝－y.这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于点(a,0)对称．由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值

8、x都有f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：f(x)在定义域内恒满足的条件y＝f(x)的图象的对称中心f(a－x)＝－f(a＋x)点(a,0)f(x)＝－f(a－x)点f(a＋x)＝－f(b－x)点二、抽象函数的奇偶性与单调性抽象函数涉及的问题有如下几类：一是单调性，由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、转化等手段，归结到函数单调