2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式学案新人教A版.docx

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1、第1课时　基本不等式1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.1．不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[答案]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数2．a＋≥2(a≠0)是否恒成立？[答案]　只有a>0时，a＋≥2，当a

2、<0时，a＋≤－23．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2＝4.(　　)(3)若a，b∈R，则ab≤2.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√题型一对基本不等式的理解【典例1】　给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导过程为(　　)A．①②B．②③C．②D．①③[思路导引]　根据基本不等式中的条件进行判断．[解析]　从基本不等式成立的

3、条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2＝4是错误的；③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案]　D　基本不等式≥(a>0，b>0)的2个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.[针对训练]1．下列命题中正确的是(　　)A．当a，b∈R时，＋≥2＝2

4、B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4C．当a>4时，a＋≥2＝6D．当a>0，b>0时，≥[解析]　A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．[答案]　B题型二利用基本不等式证明不等式【典例2】　(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.[思路导引]　(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用

5、基本不等式，将和变积，并证得不等式；(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又－1＝＝≥，可由此变形入手．[证明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>＋＋.(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式

6、中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．[针对训练]2．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明]　由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c2≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c

7、4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.课堂归纳小结利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.1．若ab>0，则下列不等式不一定能成立的是(　　)A．a2＋b2≥2abB．a2＋b2≥－2abC．≥D．＋≥2[解析]　C选项由条件可得到a、b同号，当a、b均为负号时，不成立．[答案]　C2．已知a>1，则，，三个数的大小顺序是(　　)A.<