2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3.2一元二次不等式的应用学案新人教A版必修第.docx

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1、第2课时　一元二次不等式的应用1．会解简单的分式不等式．2．会解不等式恒成立问题．3．会利用一元二次不等式解决一些实际问题.1．如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的相关位置？[答案]　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac三种取值情况(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)来确定2．若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[答案]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式a

2、x2＋x－1>0的解集为R，则，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R题型一解简单的分式不等式【典例1】　解下列不等式：(1)<0；(2)≤2.[思路导引]　等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得．[解]　(1)由<0，得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x

3、x<－2或x>1}．(2)解法一：移项得－2≤0，左边通分并化简得≤0，即≥0，它的同解不等式为∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x

4、x<2或x≥5}．10解法二：原不等式可化为≥0，此不等

5、式等价于①或②解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x

6、x<2或x≥5}．(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[针对训练]1．解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.[解]　(1)原不等式可化为解得∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)解法一：原不等式可化为或解得或∴－3

7、等式可化为>0，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3－1，不合题意，故a≠0.令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式对任意x∈R都

8、成立，∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，即∴a<－.[变式]　若将本例改为：不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，如何求a的取值范围？[解]　不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，即不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0的解集为R，也就是不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对任意的x∈R恒成立．故a的取值范围是a<－.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它

9、的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为[针对训练]2．设a≠0，不等式ax2－x＋a>0的解集为R，求实数a的取值范围．[解]　由题意得，解得：a>.∴a的取值范围为a>.题型三一元二次不等式的实际应用【典例3】　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点

10、．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．10[思路导引]　(1)按“税收＝收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式；(2)将不等关系用不等式表示，从而求解．[解]　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0

11、)．依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0