2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式讲义新人教A版

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1、2.2　基本不等式最新课程标准：掌握基本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点　基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)基本不等式：≤(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．　基本不等式≤(a，b∈R＋)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝.(2)两个正数

2、的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．[基础自测]1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab　　　　　　　　B．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．答案：D2．若a>1，则a＋的最小值是(　　)A．2B．aC.D．3解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋＝a－1＋

3、＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．答案：D3．下列不等式中，正确的是(　　)A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．答案：D4．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是.当且仅当x＝y

4、＝时xy取最大值．答案：(1)2　(2)第1课时　基本不等式题型一　对基本不等式的理解[经典例题]例1　(1)下列不等式中，不正确的是(　　)A.a2＋b2≥2

5、a

6、

7、b

8、B.≥2a－b(b≠0)C.2≥－1(b≠0)D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋≥2；②若a<0，b<0，则ab＋≥2；③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________．【解析】　(1)A中，a2＋b2＝

9、a

10、2＋

11、b

12、2≥2

13、a

14、

15、b

16、，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，≤2a－b，所以B

17、不正确．C中，b≠0，则2≥－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．【答案】(1)B　【解析】(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a，b均为正数，(2)相等：即“＝”成立的条件．【答案】(2)②

18、跟踪训练1　设0

19、y≥2，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)当和x＋y等于定值S时，≤，所以xy≤S2，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2.积是定值，和有最小值．和是定值，积有最大值．教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．跟踪训练2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y