2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1根式学案新人教A版必修第一册.docx

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1、第1课时　根式1．理解n次方根、n次根式的概念．2．正确运用根式运算性质化简、求值．3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．1．根式的概念一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作＝0.式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根

2、据n次方根的意义，可以得到：(1)()n＝a.(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝

3、a

4、＝温馨提示：()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而()中a∈R.1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？[答案]　有2个，表示为±2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(　　)(3)当n∈N*时，()n都有意义．(　　)(4)＝π－3.(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√题型一根式的

5、意义【典例1】　下列说法正确的个数是(　　)①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C．3D．4(2)已知m10＝2，则m等于(　　)A.B．－C.D．±[思路导引]　利用n次方根的概念求解．[解析]　(1)①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±.[答案]　(1)B　(2)Dn(n>1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方

6、根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．[针对训练]1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．[解析]　∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.[答案]　±4　2．若有意义，则实数x的取值范围是________．[解析]　要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[答案]　[2，＋

7、∞)题型二简单根式的化简与求值【典例2】　化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4).[思路导引]　利用的性质进行化简．[解]　(1)＝－2.(2)＝

8、－10

9、＝10.(3)＝＝3.(4)＝

10、a－b

11、＝根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．[针对训练]3．计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)＋；(4).[解]　(1)＝－4.(2)＝

12、3

13、－π

14、＝π－3.(3)＋＝(1＋)＋(－1)＝2.(4)＝

15、2x＋y

16、＝题型三有限制条件的根式化简【典例3】　设x∈[1,2]，化简()4＋.[思路导引]　借助根式的性质去掉根号并化简．[解]　()4＋＝()4＋∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋

17、x－2

18、＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式]　若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解]　()4＋＝()4＋∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋

19、x－2

20、＝x－1＋

21、x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[针对训练]4．若n

22、m＋n

23、－

24、m－n

25、，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案]　C5．设－2

26、．[解]　原式＝－＝

27、x－1

28、－

29、x＋2

30、，∵－2

31、a

32、＝1．以下说法正