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1、24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系 1.知道点和圆的三种位置关系,会用圆的半径r和点到圆心的距离d之间的关系判断点和圆的位置关系.2.知道不在同一直线上的三个点确定一个圆,会作经过不在同一直线上的三个点的圆.3.初步认清反证法与直接证明法的区别,能够运用反证法证明简单的问题.4.重点:点和圆的位置关系、圆的确定及反证法.知识梳理一 点与圆的位置关系阅读教材本课时开始至“探究”前面一段,解决下列问题.1.如图,☉O的半径为r,点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外,很显然,有OA < r,OB = r,OC > r.反之,也成立. 2.设☉
2、O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外⇔d > r;点P在圆上⇔d = r;点P在圆内⇔d < r. 3.符号“⇔”读作 等价于 ,它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端,也可以从右端推出左端. 【预习自测】若☉O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,则点A与☉O的位置关系是(C)A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内 D.不能确定知识点 圆的确定阅读教材本课时“探究”与第二个“思考”之间的内容,解决下列问题.1.通过画图,确定经过已知点可作圆的情况,填写下表:一个点两个点不在同一直线上的三个点圆的个数 无数 个 无数 个 一 个 圆心位
3、置不固定以两点为端点的 线段的垂直平分线 上 三条线段 垂直 平分线 的交点 2.经过不在同一直线上的三点作圆,常连接其中两条线段,作它们的 垂直平分线 得交点,从而找到圆心. 【归纳总结】 不在同一直线上的三个点 确定一个圆.这个圆叫做三角形的 外接圆 ,外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线 的交点,叫做三角形的 外心 . 【预习自测】在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2cm,△ABC的外接圆的半径为 2 cm. 知识梳理二 反证法阅读教材本课时第二个“思考”至结束,解决下列问题.1.在证明时,先假设命题的结论 不成立 ,由此经过推理得出
4、矛盾,由矛盾断定所作假设 不正确 ,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法. 2.反证法的步骤:(1)反设:假设命题的结论 不成立 ;(2)推理:从(1)中的“反设”出发,逐步推理直至出现与已知条件、 定义 、 定理 等相矛盾的结果;(3)结论:由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立,从而原命题成立. 【预习自测】用反证法证明“若
5、a
6、>2,则a2>4”时,应假设 a2≤4 . 互动探究1:如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A.(2,3) B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1
7、)互动探究2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CD是中线,以C点为圆心,cm长为半径画圆,则点A、B、D与☉C的位置关系怎样?解:因为在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,所以AB=2cm.因为CD是中线,所以CD=AB=cm,所以AC=2cmcm,CD=cm,所以点A在☉C内,点B在☉C外,点D在☉C上.互动探究3:用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.证明:假设一个三角形中有两个角是直角.设该三角形的三个角分别为∠A、∠B、∠C,∠A=∠B=90°,∠A+∠B=180°,∠A+∠
8、B+∠C>180°.这与“三角形的内角和为180°”相矛盾,所以假设不成立,即一个三角形中不能有两个角是直角.互动探究4:小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A、B、C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).解:如图,用尺规作出三角形两边的垂直平分线,以O为圆心,OA的长为半径作☉O.☉O即为所求作的花坛的位置.[变式训练]在上题中,若△ABC中AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.解:∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,∴BC=10米,∴△ABC外
9、接圆的半径为5米,∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.【方法归纳交流】画三角形的外接圆要先作两边的 垂直平分线 确定圆心,直角三角形外接圆的半径等于 斜边的一半 .
