两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

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1、.第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切[考纲]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α∓β)=cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin_αcos_α.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2s

2、in2α.tan2α=.3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β).(2)cos2α=,sin2α=.(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=sin.4.函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ),其中tanφ=.辨析感悟1.对两角和与差的三角函数公式的理解..(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在实数α,β,使等式cos(α+β)=cosα+cosβ.()(3)(教材练习

3、改编)cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=.()(4)(教材习题改编)=tan.()(5)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)=-3.()2.对二倍角公式的理解(6)cosθ=2cos2-1=1-2sin2.()(7)若sin=,则cosα=-.()(8)y=sin2xcos2x的最大值为1.()(9)设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α=.()[感悟·提升]一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用.考点一 三角函数

4、式的化简、求值问题【例1】(1)4cos50°-tan40°=(  ).                  A.B.C.D.2-1(2)=________...规律方法(1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值;③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等.(2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.【训练1】(1)化简:[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·=________.(2)化简:(0<θ<π)=__

5、__;考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】(1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值;(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.规律方法(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角

6、的范围为,选正弦较好.【训练2】已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,(1)求tan2α的值;..(2)求β.考点三 三角变换的简单应用【例3】已知f(x)=sin2x-2sin·sin.(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈,求f(x)的取值范围.规律方法(1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为关于正切tanα的关系式,为第(1)问铺平道路.(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】已知函数f(x)=4cosx·

7、sin-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值...1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手

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