两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

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1、.第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切[考纲]1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2s

2、in2α.tan2α＝.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)．(2)cos2α＝，sin2α＝.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tanφ＝.辨析感悟1．对两角和与差的三角函数公式的理解..(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.()(3)(教材练习

3、改编)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.()(4)(教材习题改编)＝tan.()(5)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3.()2．对二倍角公式的理解(6)cosθ＝2cos2－1＝1－2sin2.()(7)若sin＝，则cosα＝－.()(8)y＝sin2xcos2x的最大值为1.()(9)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α＝.()[感悟·提升]一个防范　运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.考点一　三角函数

4、式的化简、求值问题【例1】(1)4cos50°－tan40°＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D．2－1(2)＝________...规律方法(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．【训练1】(1)化简：[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.(2)化简：(0<θ<π)＝__

5、__；考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．规律方法(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角

6、的范围为，选正弦较好．【训练2】已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，(1)求tan2α的值；..(2)求β.考点三　三角变换的简单应用【例3】已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．规律方法(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为关于正切tanα的关系式，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．【训练3】已知函数f(x)＝4cosx·

7、sin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．..1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手