例析解几中巧用三角不等式求最值问题-论文.pdf

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1、2014年第4期中学数学研究·39·且A1A

2、上可知，本文探究了一类具有如下特征的空[1]鹿斌．查问轨迹问题的“降维”处理[J]．中学数学(高中间轨迹问题：(1)动点在空间几何体某确定平面图版)，2013(6)44—46．例析解几中巧用三角不等式求最值问题江西师大数信学院(330027)邱婵述’数学是研究空间形式和数量关系的一门科学．必须运动到两个定点之间，而不是延长线上；当求动解析几何课程是用代数分析的手段研究几何问题，点到两定点距离之差为最大时，则该动点必须运动其中有一类常见的运用三角不等式求最值题型．解到两个定点延长线上．因此，求解时首先要看清楚的决这类问题，通常是巧用三角形的三

3、边关系，即平面是求距离之和最小还是距离之差最大；其次就是看内的任意三点A、B、C有lABI+lBCI≥IACI≥这个动点和两个定点间的位置关系，将问题转化到llABl—lBC¨，当且仅当A、B、C共线时取等号．能利用三角不等式关系进行求解．现举数例，予以说明．例2如图1，A、B是抛物线=4x上的两动22^，，点，F是抛物线的焦点，线段AB的中点M在定直线例1已知F是双曲线-2-一=1的左焦点，J二=t(t>0)上．A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则IPFI+Il(1)求IFAI+IFBl的值；的最小值为(2)求IABI的最大值．解析：

4、这是动点P到两定点F、A距离之和的最分析：这道题主要考察的。-小值问题．根据三角形的三边关系有IPAl+lPFl是直线与抛物线的关系与性≥IAFI(当且仅当P、F、A三点共线的时等号成质．立)，但是此处当其三点共线时等号依然不能取得，问题(1)可以利用抛物DF必须满足动点在两个定点之间．由此需要将其中的线的定义及线段AB的中点M一＼个条件进行转换．根据双曲线的定义是动点到两在定直线戈=￡(t>0)上，求＼定点的距离之差为定值的点的轨迹，设其右焦点为=，＼出lFAI+IFBI的值；问题，于是可将lPFl转化成4+IPFI，于是问题就(2)则可

5、以利用IFAI+图1转化成求II+IPF．I+4的最小值．再由三角形lFBI≥IABI(当A，，、B三不等式有IPAl+lPF1I+4≥lAF，I+4=5+4=点共线时取“=”)，属于一定点到两个动点的距离9．当且仅当P、A、F共线时，即P点为AF，连线与双之和最小值问题．尽管这里A、是动点，F是定点，曲线右支交点时，等号成立，故所求最小值为9．但能寻求到A、、，三点共线，且F在AB之间的条评注：求解此类最值问题必须注意动点的位置件．条件，当求动点到两定点距离之和为最小时，该动点解：(1)Y=4x的焦点坐标是F(1，0)，准线方·作者为20

6、11级学科教学(数学)研究生．·40·中学数学研究2014年第4期程是=一1．设a(x1，Y1)，—B(2，Y2)，贝0IAFI：l个点作关于直线f的对称点．+1，I召FI=2+1，．‘．IFAI+IFBI：1+2+2，如图所示，作A点关于Z的对·。．线段AB的中点在定直线=t(t>0)上，．．．。称点A(一3，3)，则由对称性+2=2t，．。．IFAI+IFBI=2t+2．得△PA0APA0，于是(2)‘．‘IFAl+lFBI≥IABI，当A，F、三点共lPAI=IPAI，所以IPAl线时取“=”，．．．IABI的最大值是2￡+2．+IP

7、BI=lPAI+lPBI．例3已知两个点A(3，一3)，(5，一1)，直线1PAI+lPBI的最小值转化为IPAI+IPBI的最小值．图2z：Y=，在直线z上求一点P，使得IPAI+IPBI最小．由三角不等式关系知点P就是Z与线段BA的交点．解析：本题是关于一个动点到两个定点的距离易求得P点坐标为(I，1)，IPAI+IPBI最小值为之和问题，从图2上可知，P点是不可能运动到A、BIABl=4之间，所以此时应将问题转化，可将A、B两点中的一对互为反函数交点的问题探析江西省万年中学(335500)李敏1．问题提出(e，e)．因此本题正确答案应

8、选D．文[1]就“数形结合”的思想方法在解题中误用进行了举例分析，其中例2、例3中均用到互为反函数的指数和对数函数性质来说明，例子具有代表性，是学生容易失误的知识点．由此笔者想到