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1、应用“最短线模型”求最值例析王宝金（浙江绍兴柯岩中学312030）最值问题是初中数学的重点内容之一，也是近年来中考的热点问题，试题较贴近生活实际，内容丰富多彩，这类试题往往能考查学生的数学建模、数形结合、分类讨论等综合能力.下面仅就近年来经常出现的一类中考试题的“最短线模型”加以解析，供同学们参考.1.“最短线模型”的来源与要点.例1．已知，两村在河流的同侧，现需在河流上建一抽水站，同时为，两村供应自来水。要使得由抽水站分别到，两村所铺设的水管总长度最短,请问抽水站应建在河流上的什么地方?图1分析：要使抽水站分别到，两村的水管总长度最短，关键要在上找一点，使取最
2、小值。直接找点显然有困难.因此，需要对这个问题进行转换.由“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”和“线段垂直平分上任意一点到线段两端点距离相等”，可知，点和它关于河流的对称点到抽水站点的距离相等.因此，如图1所示,讨论的最小值问题就转化为求的最小值问题，显然，之间以线段最短，所以连结，与相交于点，点就是所求要建抽水站的地点.解:如图1，作点关于的对称点，连结交于点，则点就是所求.我们证明如下:在上取点之外的任意一点，连结，，，因为，关于直线为轴对称，点，在对称轴上，所以，，由于三角形两边之和大于第三边及等量代换,我们有.因此这样选的点位置能使最小，即由点到，两村的
3、水管总长度最短.7例题1的模型可简称为“最短线模型”，它的一般表述是：已知，是直线同侧的两个点，试在上找一点P，使得线段与之和最短。这里要注意两个要点：(1)，是已知直线同侧的两个定点,P是上的动点；(2)求的是由P分别连接A,B的线段PA,PB的总长度最小时,P在上的位置。只有（1），（2）全符合时，才能使用“最短线模型”。因此掌握上述两个要点是正确运用这个“最短线模型”解题的关键.2.“最短线模型”的运用例析.上述“最短线模型”有着广泛的应用,关键在分析三角形、四边形、圆或抛物线等不同图形载体上的点与直线是否合于上述的两个要点.图2例2.如图2，在△ABC中
4、，AC=BC=2,∠ACB=90º,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是______．分析：因为点C,D是AB同侧的两个定点,为上一动点，求的最小值.问题完全符合上述的两个要点,因此适用于“最短线模型”。解：如图3，作点关于的对称点，连结交于点，则的最小值即为的长度。连结.为等腰直角三角形，点、关于对称.图3为等腰直角三角形，为的中点，。.答:EC+ED的最小值是例3.如图4，正方形的边长为，在上，且，是上的一动点，求的最小值.图4提示：因为点D,M是AC同侧的两个定点,N为上一动点，求的最小值.合于“最短线模型”。可连结，易知,点与关于
5、对称,连结交于点,由可得.即7,最小值是10.不难看出,本题实质是例2的变形.例4.如图5，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，点是直径上一个动点，的半径为，则的最小值为（）.图5A、B、C、D、解：如图6，,是直径同侧的两个定点,是上的动点,求的是的最小值,符合“最短线模型”的条件,这是载体为圆的“最短线模型”.因此作点关于的对称点，连结交于点，连结.,点是的中点,图6。又，即。故选C.例5.如图7所示，二次函数的图象的顶点坐标为，且在轴上截得线段的长为（1）求二次函数关系式；（2）在轴上有一点，使最小，求点的坐标.图7解：（1）因为点和点关于对称，且，所以点
6、，点设二次函数解析式为，把点代入得，所以二次函数的解析图8式为.(2)如图8，A,C是抛物线上轴同侧的两个定点,为轴上的动点,要求使最小时点的坐标.完全合于“最短线模型”的条件.因此作点关于轴的对称点，连结交轴于点，因为7，设点和点在一次函数上，则，得因此，直线为.当时，，所以点点的坐标为.3.“最小值问题”的灵活应变应用“最短线模型”解最小值问题,一定要具体检验是否符合前述的两个要点.如果不完全合于条件，就不能简单地套用“最短线模型”，而需要根据具体问题条件灵活应变.例6.如图9，直线是一条河，、两地相距千米，、两地到的距离分别为千米、千米，图9欲在上的某点处
7、修建一个水泵站，向、两地供水.现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道总长最短的是()。多么熟悉的问题!马上选B.结果错了!正确的答案是A。问题出在哪里呢？这里直线是给定的,是直线同侧的两个定点。M是上的动点，符合模型条件(1).而由于M在上的位置不同，其中方案B与D是比较的总长度，而A,C两种方案不是型的折线,因此不符合条件(2),所以,不能简单地套用“最短线模型”.事实上，方案A的管道总长为2+8=10千米。方案C的管道总长大于10千米，易见方案D的管道总长大于方案B的管道总长,计算可知方案B的管道总长为千米。所以正确的答案是A.7例7.三
8、角形ABC中，AC=3，
