建立模型巧求最值

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1、建立模型，巧求最值引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，解决这类问题的基本依据有：（1）“两点之间线段最短”，（2）“垂线段最短”，（3）“三角形两边之差小于第三边”。一、常用几何模型：Ⅰ．“将军饮马”模型：（1）、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）、点A、B在直线m同侧。A、关于直线m的对称。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。又区分为（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内

2、侧：Ⅱ．台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.变式：已知点A、B位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.小例：建立模型巧求最值第9页共9页点在内，且,请在上找两点,使的周长最小，并求出它的最小周长？Ⅲ．平移、旋转加对称1、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB最小．（1）点A、B在直线m两侧：（2）

3、点A、B在直线m同侧：2、已知小河的宽度为米，河的两岸有两个村庄，现准备在河上建一座桥，使桥身下河岸垂直，问应该怎样选择桥址才能使两村间的路程最短？变式：如图在两个村庄之间有互相平行的两条小河，河宽分别为米、米，如果我们要在小河上建两座与小河河岸垂直的桥，应该怎样选择桥址，才能使两个村庄之间的路程最短？二、实例讲析解决这类问题的基本策略是：首先通过对题目的精确分析，寻找建立相关的几何模型，其次才是适当添加辅助线，应用勾股定理等几何方法进行计算。建立模型巧求最值第9页共9页例1、在中，，，点是的中点，是

4、上一点，那么的最小值是多少？分析：由题意，动点只有一个,且在直线上，定点在直线同侧，是典型的“将军饮马问题”，所以首先作点关于直线的对称点，连结交于，那么线段的长就是的最小值，只须连结就可计算了。例2、在，，试在上分别找一点使的值最小？分析：由于这里的动点有两个，要到的距离最短，只要作的垂线就行，故而联想到先做关于的对称点，再过作于，交于，那么的长就是的最小值！（垂线段最短与对称结合，属于“将军饮马问题”的变化形式）例3、是正方形对角线上一点，试寻找使最小的点的位置？模型应用：1．如图，正方形ABCD

5、的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．第1题第2题第3题第4题4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为

6、__________．建立模型巧求最值第9页共9页5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为             ．第5题第6题第7题6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为             ．7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为            ．8．已知：，

7、问在直线上是否存在一点P，使的周长最小？9、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．10、正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为11、如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．12．如图

8、，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．13．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．14．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔