基于分块矩阵 Hoffman 定理的 Gerschigorin变分-论文.pdf

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1、第l5卷第1期北华大学学报(自然科学版)VoJ．15N0．12014年2月JOURNALOFBEIHUAUNIVERSITY(NaturalScience)Feb．2014文章编号：1009-4822(2014)01-0031434DOI：10．11713／j．issn．1009-4822．2014．01．008基于分块矩阵Hoffman定理的Gerschigorin变分桑海风，刘畔畔，李庆春(1．北华大学数学与统计学院，吉林吉林132033；2．吉林大学数学研究所，吉林长春130012)摘要：在Hoffman定理的基础上，利用“和式”思想，给出了复分块矩阵非奇异

2、的判定条件，进一步扩展了Gerschgorin圆盘定理．作为应用，给出了复分块矩阵正稳定的新判定条件．关键词：分块矩阵；Hoffman定理；Gerschgorin圆盘；特征值；谱包含域中图分类号：0151．21文献标志码：AGerschgorinVariationsofPartitionedMatricesBasedonHoffmanTheoremSANGHai—feng，LIUPan．pan，LIQing—chun(．SchoolofMathematicsandStatistics，BeihuaUniversity，Jilin132033，China；2．Mat

3、hematicsResearchInstituteofJilinUniversity，Changchun130012，China)Abstract：Thenonsingularityofcomplexpartitionedmatricesandthecriteriaofnonsingularityaregivenbyadditiveapproach．ThetheoremofGerschgorindiscisgeneralized．Andthenewconditionforthepositivestablematrixisproposed．Keywords：part

4、itionedmatrices；Hoffmantheorem；Gerschgorindisks；eigenvalue；spectralinclusionregions1引言在科学工程计算中，往往通过计算不能求出矩阵的准确特征值，这就需要对特征值做出估计，即研究矩阵的谱包含域．矩阵特征值估计在统计学、数值分析、系统工程、稳定性理论等相关领域发挥着重要作用．Gerschgorin给出了简洁的矩阵特征值包含域——Gerschgorin圆盘¨，它们是平面上一类非常容易计算的区域，这些区域包含给定矩阵的所有特征值．许多研究者受到Gerschgorin圆盘理论的启发，得到一些

5、其他类型的改进的矩阵谱包含域结果．对于n阶复方阵A，比较经典的结果有：Ostrowski给出的A的所一一”，'11、有特征值位于给出的n个圆盘的并集中，Brauerl4给出的A的所有特征值位于-个Cassini卵形域的并集中，Brualdil4给出的弱不可约矩阵的“乘式”谱包含域．上述结果均是以“乘式”的形式改进和推广Gerschgorin圆盘定理．本文利用“和式”思想，给出复分块矩阵非奇异的判定条件，推广了文献[5-9]的相关结果，从而变向推广了Gerschgorin圆盘定理．作为应用，给出了复分块矩阵正稳定的新判定条件．收稿日期：2013-10-25基金项目：

6、吉林省自然科学基金项目(201215099)．作者简介：桑海风(1982一)，男，讲师，博士研究生，主要从事计算机代数研究；通信作者：李庆春(1959一)，男，教授，博士，主要从事矩阵理论研究32北华大学学报(自然科学版)第l5卷2预备知识为叙述方便，引入下列记号：(C)表示n维实(复)向量集合，×(Cx)表示m×n阶实(复)矩阵集合·设凡为正整数，(n)表示集合{1，2，⋯，n}，fSf表示集合S()中元素的个数．总假定A：(o)∈C有如下分块形式：A】2A】A22A2●●：：Am2A其中：A∈cmixni，i，∈(mA)，∑n=n．=设A：(o)∈C，，．，，

7、。．．．分．．．块．．．．形．。如式(1)，且A皆非奇异，i∈(m)．记(A)=l{Al}．1IAI／,Cvz(A)：∑i』i』．fJfj，⋯‘J(A)=f，f=1∑f”ll”f．1“⋯fl，i∈一m)．’～，定义1矩阵A=(。)∈C称为正稳定的，如果A的所有特征值实部均大于零．3主要结果定理1设A：(口)∈C分块形如式(1)，H_A皆非奇异，∈(m)，满足：1)VS(m)，ISI=，∑(1一(A))>0；f2)2)VS(m)，IsI>{∑ieS(∑ieS(A}．(3)则A非奇异．明：假设A奇异，则有z=(z，z，⋯，z：)∈C＼tol使Az：o，这里z的分块与A

8、一致．设，