分数阶微分包含四点边值问题解的存在性-论文.pdf

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1、第16卷第4期扬州大学学报(自然科学版)Vol_16No．42013年11月JournalofYangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)NOV．2O13分数阶微分包含四点边值问题解的存在性杨丹丹(淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安223300)摘要：利用多值映射非线性选择定理和不动点定理，研究分数阶微分包含四点边值问题。D5+Y(￡)∈F(t，(￡))，tE(O，1)，a∈(1，2]；yl(o)+口()一O，by(1)+()一0解的存在性，所得结果将已有的单值情形推广到多值情形．关键词：解的存在性；分数阶微分包含；边值问题；不动点定理中图分类号：017

2、5．14文献标志码：A文章编号：1007—824X(2O13)O4—0005—04本文研究如下分数阶微分包含四点边值问题：(￡)EF(￡，(￡))，tE(0，1)，aE(1，23；(1)Y(0)+ay()一0，by(1)+()一0，(2)其中+是Caputo分数阶导数，O<叩≤<1，F：[0，1]×R一(R)是定义在[0，1]上的多值映射，R)表示R的所有非空子集．分数阶微分方程起源于物理学、人口动力学和经济学等领域，是人们理解现实世界数学模型的重要工具[1_3]，因此分数阶微分方程的研究受到数学工作者的广泛关注L4]．2011年，Ahmad等[1。。曾运用不动点定理研究带有四点边值条件(2

3、)的脉冲分数阶微分方程，得到了解的存在性和唯一性定理．本文的主要目的是将文献[1O]的结果扩展到多值情形，文中的结果包含非线性项为凸和非凸两种情形．1几个引理为方便起见，现给出证明主要结果所用的一些常规记号．对于赋范空间(X，ll·l1)，令(X)一{YE(X)：Y是紧的}，％，(x)一{YE(x)：Y是紧凸的}．对于每个YEC([o，1]，R)，定义F的选择集合为SF,y：={vEL([o，1]，R)：(￡)EF(t，(￡))，对于几乎处处t∈[O，1])．令F：[O，1]×R一(R)是一个带有非空紧值的多值映射，定义与F有关的一个多值算子：C([0，1]×R)--~(L([o，1]，R)

4、)如下：()一{WEL([0，13，R)：叫(￡)EF(t，(￡))，对于几乎处处tE[O，1]}，称为与F有关的Nemystskii算子．定义1『1]2他一个定义在[0，。。)上的函数的Caputo分数阶导数为D5+()一lI(￡一一dJ0S)~-rU(s)ds，其中n一[a]+1．引理1[1(Kakutani映射的非线性选择定理)令E是Banach空间，C是E的一个闭凸子集，U是C的一个开子集，且0EU．若F：一，(C)是上半连续紧的映射，其中，(C)表示一族非空紧凸子集，则或者(i)F在口中存在一个不动点，或者(ii)存在一个“E3U及E(0，1)，使得UEAF()．收稿日期：2013

5、—06—21．E—mail：ydd423@sohu．tom．基金项目：江苏省高校自然科学基金资助项目(11KJB110003)．引文格式：杨丹丹．分数阶微分包含四点边值问题解的存在性[J]．扬州大学学报：自然科学版，2013，16(4)：5-8，216扬州大学学报(自然科学版)第16卷引理2l1令x是Banach空间．设F：[O，1]×R一％，(X)是一个L一Carath6odory多值映射，且H是由L([O，1]，X)到C([O，1]，X)的线性连续映射，则算子@as：c([0，1]，x)一％，(c([0，1]，X))，z(@。sF)()===@(sF，)是c([O，1]，x)×c([o，

6、1]，x)中的一个闭图算子．引理3[】胡令y是一个可分的度量空间．设F：y一L([0，1]，R))是一个多值算子，满足F是下半连续且有非空的可分解值，则F存在一个连续选择，即存在一个连续单值函数．厂：y—L([O，1]，R)，使得对每个∈Y有f(z)∈N()．2主要结果现列出本文的假设条件：(A)函数F：[0，1]×R一(R)是Carath6odory且非空紧凸值．(Az)存在一个连续非减的函数：[0，c×。)一[O，∞)和一个函数P∈L([0，1]，R)，使得I1F(t，)ll：=sup{ll：∈F(t，)}≤户(￡)(1Iyl1)，(￡，)∈[0，1]×R．(A。)函数F：[O，1]×R

7、一(R)是一个非空紧的多值映射，使得(i)(￡，)F(t，)是LoB；(ii)yF(￡，)对于t∈[0，1]是下半连续的．引理4[]假设a>O，则分数阶微分方程聩+()一O存在一个解(￡)=fo+cl￡+c2t+⋯十c．t一，其中∈R，=1，2，⋯，，rt-~[口]+1．引理5[1j。假设a>0，则I++(f)：==．y()+fo+cl￡+f2t+⋯+C．t一，其中c∈R，i一1，2，⋯，n，n=[口]+1．