通信原理-第3章 随机过(02).pdf

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1、第三章随机过程北京邮电大学信息与通信工程学院刘雨2019年10月3.1引言•随机信号–不能用确定的时间函数来描述，但有一定的统计规律性的信号•通信系统中哪些信号是随机信号–通信信号–随机干扰和随机噪声•数学模型–随机过程:是随机信号和随机噪声的数学模型2019/10/72随机过程•随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量•样函数–随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是时间的函数•样函数空间Ω–所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样函数空间Ω•所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过程X(t

2、)、Y(t)2019/10/73随机过程x(t)1t0x(t)2t2t0t1•x1(t)、x2(t)是样函数–x1(t)、x2(t)是时间的函数–t1确定，x1(t1)、x2(t1)不确定，是随机变量–样函数确定，x2(t1)、x2(t2)不确定，是随机变量2019/10/743.2随机过程的统计特性1、概率分布函数和概率密度函数一维分布函数F1(x1,t1)=P[X(t1)≤x1]概率密度∂F1(x1,t1)=p1(x1,t1)∂x1n维分布函数F(x,x,,x;t,t,,t)n12n12n=P{X(t)≤x,X(t)

3、≤x,,X(t)≤x}1122nn概率密度p(x,x,,x;t,t,,t)n12n12n∂F(x,x,,x;t,t,,t)n12n12n=∂x∂x∂x12n2019/10/752、随机过程的数字特征+∞（1）数学期望E[X(t)]=∫xp1(x,t)dx=mX(t)−∞2（2）方差D[X(t)]=E{X(t)−E[X(t)]}222=EXt[()]−=mt()σ()tXX（3）自相关函数(统计平均或称集平均)E[X(t1)X(t2)]=RX(t1,t2)∞∞=∫∫x1x2p2(x1,x2,t1,t2)dx1dx2

4、−∞−∞R(t,t)=R(t,t+τ)当t2=t1+τ时,X12112019/10/76（4）自协方差Ctt(,)=EXt{[()−−mtXt()][()mt()]}X121XX122=Rttmtmt(,)−()()X12XX12（5）归一化协方差函数Ctt(,)ρ(,)tt=X12X12σσ()()ttXX12如果ρ(,)0(tt=或Ctt(,)0)=XX1212则称Xt()和Xt()不相关122019/10/773.两随机过程的联合分布函数和数字特征(1)联合分布函数和概率密度[n+m]维的联合分布函数'''F(x,x,

5、,x;t,t,,t;y,y,,y;t,t,,t)n,m12n12n12m12m'''=P{X(t)≤x,X(t)≤x,,X(t)≤x;Y(t)≤y,Y(t)≤y,,Y(t)≤y}1122nn1122mm[n+m]维的联合概率密度'''∂F(x,x,,x;t,t,,t;y,y,,y;t,t,,t)n,m12n12n12m12m∂x∂x∂x∂y∂y∂y12n12m'''=p(x,x,,x;t,t,,t;y,y,,y;t,t,,t)n,m12n12n12m12m2019/10/78两个随机过程相互独

6、立的充要条件'''Fx(,,,;,,,;,,,;,,,)xxtttyyytttnm,12n12n12m12m'''=F(,,,;,,,)(,,,;,,,)xxxtttFyyytttn12n12nm12m12mp=ppF=FFn,mnmn,mnm2019/10/79(2)两个随机过程的数字特征互相关函数∞∞R(t,t)=E[X(t)Y(t)]=xyp(x,t,y,t)dxdyXY1212∫∫212−∞−∞互协方差函数CXY(t1,t2)=E{[X(t1)−mX(t1)][Y(t2)−mY(t2)]}=RXY(t

7、1,t2)−mX(t1)mY(t2)∀t,∀t,C(t,t)=0,则X(t)与Y(t)不相关。12XY12相互独立，必定不相关，反之，不一定正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的2019/10/7103.3平稳随机过程1.宽平稳随机过程定义(广义平稳)数学期望与自相关函数只时间无关与t-t=τ有关21满足E[X(t)]=mXRX(t1,t2)=RX(τ)称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)2019/10/711例：•设????=cos2????0??+??，??在0,2??上均匀分布。2??1E????=�cos2????

8、0??+??⋅d??=02??0E????+????(??)=Ecos2????0??+??+??cos2????0??+??1=Ecos2????0??+cos4????0??+2??+2????0??211=cos2????0??+Ecos4????0??+2??+2????0??22