统计收敛意义下的 Slutsky 定理-论文.pdf

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1、第32卷第2期湖北民族学院学报(自然科学版)VoI．32No．22014年6月JournalofHubeiUniversityforNationalities(NaturalScienceEdition)Jun．2014统计收敛意义下的Slutsky定理张宾(湖北民族学院预科教育学院，湖北恩施445000)摘要：引入统计依概率收敛和统计依分布收敛，比较了统计依分布收敛和一般意义下的依分布收敛之间的关系，并证明了统计收敛意义下，Slutsky定理仍然成立，这为建立统计收敛下的概率极限理论奠定了基础．关键词：统计依概率收敛；统计依分布收敛；Slu

2、tsky定理中图分类号：O211．4文献标志码：A文章编号：1008—8423(2014)02-0i50-03TheSlutskyTheoremintheMeaningofStatisticalConvergenceZHANGBin(PreparatoryEducationCollege，HubeiUniversityforNationalities，Enshi445000，China)Abstract：Thenotionsofstatisticalconvergenceinprobabilityandstatisticalconvergen

3、ceindistributionareintroducedinthispaper，andtherelationbetweenstatisticalconvergenceindistributionandthecon—monconvergenceindistributionisrevealed．ThenitprovestheSlutskytheoremisstillrightinthemeaningofstatisticalconvergence．Theworkisbasictoformtheprobabilitylimittheoryinth

4、emeaningofstatisticalconvergence·Keywords：statisticalconvergenceinprobability；statisticalconvergenceindistribution；Slutskytheorem0引言在文献[1-2]利用自然密度的概念将实数序列的极限推广得到了实数序列的统计收敛的概念，文献[3]讨论了随机变量的统计收敛性，分别定义了统计几乎必然收敛性、统计依概率收敛性和统计依分布收敛性，文献[4-7]研究了统计收敛的测度理论．Slutsky定理经常用来寻求一些统计量的渐近分布，近

5、些年来，有学者对Slutsky定理进行了推广文献[8-9]，本文考虑了统计收敛意义下的Slutsky定理，证明了在统计收敛意义下Slutsky定理仍然成立．下面给出文献[3]中的两个定义：定义1称{)统计依概率收敛于，如果对任意的6>0，有：nPst1imn_。．∑P(1X一X{≥)=0，记为．定义2称{)统计依分布收敛于，如果对于的分布函数，()的任意连续点，有n，stlimn一∑lF()一F(x)l=0，记为j1主要结论引理1设{)为随机变量序列，X为一随机变量，若XX，则：xX，反之不一定成立．例1记Ⅳ表示服从标准正态分布N(0，1)的

6、随机变量，设：Xn={斐罩，=Ⅳ墨m_lim_0，所以可知三'同时不依分布收敛于显然v，有1im收稿日期：2014—05—07．作者简介：张宾(1984一)，男，硕士生，讲师，主要从事概率极限理论方面的研究第2期张宾：统计收敛意义下的Slutsky定理成立．从而统计依分布收敛是依分布收敛的推广．引理2[9tMx)为随机变量序列，X为一随机变量，且XX，g()是一个定义在R上的连续函数，则有g(x)p一stg(X)定理1设{)和{Yo)是两个随机变量序列，若Xr舭X，__二D一耵c，(c为常数)，则有：i)瓦+X+c；Lstii)XYncX；i

7、ii)X／Yor盯X／c(c≠0)2主要结论的证明定理1的证明：i)设随机变量的分布函数为F(x)，则X+c的分布函数为F(x—c)，根据定义2，即需证明对F(—C)的连续点—C，成立：∑1P(X+y≤)一F(一c)．．10．因为V6>0，下式成立：P(X+≤)=P(X+≤，l—cl≤占)+P(X+≤，l—c1>s)(1)所以：P(X≤—c—)一P(1—cl>s)≤P(X+≤)(2)P(X+≤)≤P(X≤—c+)+P(1—cl>)(3)由式(2)、(3)得：IP(X+≤)一F(一c)∑1P(X≤—c一)一F(x—c)P(1—cI>)．．j≥≤

8、+所以：n∑1P(X≤一c—)一F(—c)∑p(x+≤)一F(—c)．．1liminf—k=—llira≤n—∞乃∑1P(X+≤)一F(x—c)∑1p(x≤—c+)