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1、§3收敛定理的证明(一)教学目的：了解收敛定理的证明．(二)教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．(1)基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点．(2)较高要求：理解收敛定理的证明．(三)教学建议：(1)要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点．(2)对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．——————————————————————————Dini定理设以为周期的函数在区间上按段光滑,则在每一点,的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值,即,其中和为的Fourier系数
2、.证明思路:设～对每个,我们要证明.即证明.方法是把该极限表达式化为积分,利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.1写出的简缩形式..称这一简缩形式为的积分形式,或称为Dirichlet积分,2利用该表示式,式可化为+,于是把问题归结为证明,.这两式的证明是相同的,只证第一式.1为证上述第一式,先利用三角公式建立所谓Dirichlet积分,利用该式把表示为积分,即把表示为Dirichlet积分.于是又把上述1中所指的第一式左端化为.2利用所谓Riemann—Lebesgue定理证明上述极限为零.为此,先证明Bessel不等式,再建立Riem
3、ann—Lebesgue定理,然后把以上最后的式子化为.3把上式化为应用Riemann—Lebesgue定理的形式,即令,则.为使最后这一极限等于零,由Riemann—Lebesgue定理,只要函数在区间上可积.因此希望存在.由函数在区间上按段光滑,可以验证存在.预备定理及其推论:为实施以上证明方案,我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理1(Bessel不等式)若函数在区间上可积,则有Bessel不等式,其中和为函数的Fourier系数.推论1(Riemann—Lebesgue定理)若函数在区间上可积,则有,.推论2若函数在区间上可积,则有,.预备定理2若是以为
4、周期的周期函数,且在区间上可积,则函数的Fourier级数部分和有积分表示式.当时,被积函数中的不定式由极限来确定.Dirichlet积分:.证由三角公式.三维空间中则(1)将此结论推广到维空间,即为若,则对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数自然应有这就是有名的Bessel不等式,其证明和三维空间中(1)式的证明思路完全一样,都是利用坐标系的正交性.1.Parseval等式(或称Ляпинов等式)设可积函数的Fourie级数在区间上一致收敛于,则成立Parseval等式.证法一注意到此时函数在区间可积,由Bessel不等式,有.现证对,有.事实上,令由一致收敛于,
5、对对,有,因此,.即当时有.令,.由的任意性,有.综上即得所证.证法二由一致收敛于,.而.因此,.由两边夹原则,即得所证等式.证法三利用内积的连续性(可参阅一般泛函书),有=.Parseval等式的意义：设在幺正系下函数的Fourier系数为和，可见；；同理有;其中和为函数的通常Fourier系数.于是,Parseval等式即成为.注意到,就有,这是勾股定理的推广,可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier级数与三角级数:Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数
6、.一个三角级数是Fourier级数(即是某个可积函数的Fourier级数)的必要条件为:若三角级数为Fourier级数,则数项级数收敛.(参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117).比如正弦级数是收敛的三角级数(利用Dirichlet判别法),由级数发散,正弦级数不是Fourier级数.例证明:当时,三角级数在R内收敛,但其和函数在区间上不是(R)可积的.证由Dirichlet判别法,可得该级数在内收敛.反设和函数在区间在上(R)可积,则该三角级数是函数的Fourier级数.由于也在上(R)可积,则有Bessel不等式.即有上式左端的正项级数收敛.但由,矛盾
7、.可见,函数在区间在上不是(R)可积的.因此,本例中的三角级数不是Fourier级数.一个三角级数是否为Fourier级数,与所用积分有关.在某种积分意义下不是Fourier级数,或许在另一种积分意义下是Fourier级数.近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数.最新的一个研究结果是:在所谓SCP积分(SymmetricCesaroPerron积分)意义下,上例中的三角级数是Fourier级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理,我们很容易导出有广泛应用维尔斯特拉斯逼近定理定理(维尔斯特拉斯逼近定理)若函数在闭区间上
8、连续,则对
