关于高等数学中Fourier级数收敛定理的几点注记-论文.pdf

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1、第4O卷第6期西南师范大学学报(自然科学版)2O15年6月Vo1．40No．6JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Jun．2015关于高等数学中Fourier级数收敛定理的几点注记①陈加伟，李金富西南大学数学与统计学院，重庆400715摘要：Fourier级数收敛定理是高等数学中的重要内容之一，对偏微分方程与复变函数理论的研究有着重要的作用．然而，Fourier级数收敛定理在不同的教材中表述不尽相同．通过例题说明高等数学中Fourier级数收敛定理的条件是Fourier级数收敛的充分而非必要

2、条件，同时，指出初学者对定理的理解可能出现的误解及其原因。关键词：Fourier级数；收敛性；高等数学中图分类号：G642．4文献标志码：A文章编号：i000—5471(2015)6—0166—04函数，(z)的Fourier级数是指由Fourier系数。一r，(z)。。nxdz7亡√一6一r厂(z)sinnzcdz7c√一所确定的三角级数譬+∑(ncos艇+6sin船)0Fourier级数作为一种特殊的三角级数，它由法国数学家傅里叶(Fourier)在研究偏微分方程的边值问题时提出，他指出：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷函数项级数来表示，这极大地推动了偏微分

3、方程理论的发展．狄利克雷(Dirichlet)于1829年首次证明了Fourier级数的收敛性，即著名的Dirichlet收敛定理．后来，很多学者对Fourier级数的收敛性问题展开了深入研究，并取得了丰富的成果．文献[1]对我国目前数学分析与高等数学教材常用的Fourier级数的两种收敛定理(定理1与定理2)之间的关系进行了探讨，并指出这些收敛定理之间不存在包含关系．为了方便读者，在此给出高等数学与数学分析中常用的两种Fourier级数收敛定理以及相关定义．定义1令厂(z)是定义在[。，6]上的函数，且至多有有限个第一类间断点．其导函数在[n，6]上除了至多有限个点外都存在且

4、连续，并在这有限个点上，导函数f()的左、右极限存在．则称函数_厂(z)在[n，6]上按段光滑．①收稿日期：2014一O6一O8基金项目：中央高校基本科研业务费专项(XDJK2014C073)．作者简介：陈加伟(1984一)，男，四JII大竹人，副教授，主要从事最优化理论、算法及应用等方面的研究第6期陈加伟，等：关于高等数学中Fourier级数收敛定理的几点注记167定理1(Fourier级数收敛定理)设函数厂(．z)是周期为2丌的周期函数，如果它满足Diriehlet条件：(i)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(ii)在一个周期内至多只有有限个极值点．则厂()的Fo

5、urier级数收敛，并且满足：当z是f()的连续点时，级数收敛于-厂(z)；当z是厂()的间断点时，级数收敛于型．定理2(Fourier级数收敛定理)[若以27c为周期的函数厂(z)在[一7c，兀]上按段光滑，则在每一点∈[一兀，丌]处，函数-厂(z)的Fourier级数收敛于厂(z)在点z的左、右极限的算术平均值，即二±一929+’∑一(一a一c。一s～1"／37+。6⋯si⋯n船～)其中＆，b为f(z)的Fourier系数．对于定理2的证明，请参见文献[2]的定理15．3．值得注意的是，大多数高等数学教材中不加证明地给出定理1．当前，我国所有高校几乎都开设有高等数学课程，而

6、且Fourier级数收敛定理是高等数学课程的重点内容之一．鉴于此，我们将从教学的角度对定理1进行一些有益的探讨．例It。设函数-厂(z)是周期为27c的周期函数，它在[一7c，7c)上的表达式为㈧一一三将厂()展开成Fourier级数．由定理1，文献[3]得到厂(z)的Fourier级数展开式为)一sin(2是一1)z(1)其中一0(21<<+∞，且Lz≠0，±7c，±2丁c，⋯．例2E。设函数-厂(z)是周期为27c的周期函数，它在[一7c，7c)上的表达式为一一三将_厂(z)展开成Fourier级数．由定理1，文献[3]得到厂(z)的Fourier级数展开式为fc一一手+奇

7、cos(gk-1)x+sinkx其中一∞