基于MATLAB的倒立摆LQR控制方法的研究-论文.pdf

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1、第4期(总第185期)机械工程与自动化NO。42014年O8月MECHANICALENGINEERING&AUT0MAT10NAug．文章编号：1672-6413(2014)04-0166-03基于MATLAB的倒立摆LQR控制方法的研究刘惠超，孔庆忠(内蒙古：12业大学机械学院，内蒙古呼和浩特01O051)摘要：在忽略掉倒立摆系统本身自然不稳定因素以及摩擦阻力的影响后，倒立摆系统就成了一个典型的运动刚体系统，利用在惯性坐标系内的经典力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析方法建立直线型一级倒立摆的数学模型。结果证明，基于牛顿力学定律的数学建

2、模方法，应用二次型最优控制理论对一级倒立摆实现控制，并能满足控制系统的稳定性和鲁棒性，用MATLAB进行仿真，并对仿真试验结果进行了分析研究。关键词：倒立摆；MATLAB；LQR；仿真中图分类号：TP391．7文献标识码：A1直线一级倒立摆的物理建模和可控性分析fx：m(G)一re(x-lsin~)===mEx一(zsincP-倒立摆系统具有快速、多变以及非线性的特点，广lcos~)]一mx-mlsin+mlcos~．(1)泛应用于航天飞行器以及双足机器人等领域，因此，对则摆杆绕0点的力矩平衡方程为：于倒立摆的研究具有重要的现实意义。(．厂+m

3、l)一mgZsin一+cos．(2)直线一级倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成，它1．2对小车进行运动学分析们之间自由连接。小车可以在导轨上自由移动，摆杆小车在竖直方向上受力平衡。小车在水平方向上可以在铅垂的平面内自由地摆动。将其置于平面坐标受力为：系后，其结构图如图1所示。我们规定逆时针方向的F—fq一(rex-mlsinfP+mlcoscP)一M．转角和力矩均为正，另外设：m为摆杆的质量，M为小令T—+M，V—J+ml，U=ml，则：车的质量，L为摆杆的长度，O为旋转点坐标，G为摆杆质心坐标，z为点0到点G的距离，J为摆杆的转动{l一cos+

4、一一+sincPF)J．‘㈤⋯惯量，，o为小车与导轨间的摩擦系数，，为摆杆绕转由此得到了描述一级倒立摆运动的微分方程组：动轴的摩擦阻力矩系数，为摆杆与垂直向上方向的夹角，F为外界作用力，为F在z轴方向的分力，(一一面)()一(一i呻)()+为小车运动距离原点的位移，则摆杆和小车的受力情况如图2所示。(0in)+(．㈤将式(5)进行理想化处理，一级倒立摆的线性化微(6)图1一级倒立摆的结构图图2摆杆的受力分析图JW$2X(s)-Us2~(s)=一fosX(s)+us＼．(7)1．1对摆杆进行运动学分析I—Us。X(s)+Vs(s)=一(s)+Ug

5、q~(s)J由图2分析摆杆受力情况，摆杆水平方向受力：倒立摆实物控制系统中，系统的输出为摆杆的角收稿日期：2013—10—29；修回日期：2014—02—03作者简介：刘惠超(1989一)，女，山东泰安人，在读硕士研究生，研究方向：智能机器人。2014年第4期刘惠超，等：基于MATLAB的倒立摆LQR控制方法的研究·167·度，受到控制的是小车的位置，以调整小车的位置来矫受控对象。以摆杆角度为输出时，传递函数为：正摆杆的角度，因此在进行数学建模时我们以角度为(s)一(8)二而=万干i’对微分方程(7)进行线性变化可以得到系统的状态方程：==：(

6、16)01(三)：(：：)f；f+(：)F．。0u一～～Ⅳ。丁一～Ⅳ此时，得到系统的传递函数为：004l一o。A(s)3g一60‘．一，一一0V盟～～1．3倒立摆系统的稳定性分析，丁—U。通过求线性化后系统模型的特征根来研究系统的上F．(9)O稳定性。本系统的特征根为：一7．746，。：西—U一7．746。丁一根据劳斯判据可知，因为有存在于右半平面的极点，故系统不稳定。㈡(：；：)z，2线性二次最优控制(LQR)基本原理及分析一+f＼o01／F．(1O)2．1线性二次最优控制研究的主要问题最优控制研究的主要问题是：根据已建立的被控力矩平衡方程为

7、：对象的数学模型，选择一个容许控制的控制规律，对被sin一-J-3tt控对象按照事先预定的要求进行控制，并能使其某一XCOS．(11)性能指标到达最值(最大值、最小值)。将式(11)线性化后，得：经典的变分理论只能解决控制无约束，而工程实一一：参+．(12)践中遇到的多为有约束控制。因此，这种最优控制成为现代控制理论中最核心的成果之一。线性二次型问假设一口，以n做控制输入，状态方程为：题通过状态反馈便可实现闭环控制，这在工程实际应0100]，、f0Z，用上具有重要意义。F00o。Z0oolll+．IJ02．2二次型性能指标的一般形式二次型性能指

8、标的一般形式为：蚤OO44￡mZJJ一寺l[x()Q()x(￡)+UTR()(￡)]+即以加速度为控制量，角度为被控对象，此时的传递函数为：．去_X(