关于部分变元稳定性的新判据-论文.pdf

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1、第14卷第2期潍坊学院学报Vo1．14No．22014年4月JournalofWeifangUniversityApr．2014关于部分变元稳定性的新判据郭怡萍(山东科技大学，山东青岛266590)摘要：利用Liapunov直接法，得到了关于部分变元稳定性的两个新判据，推广了有关文献的相关结果。关键词：李雅普诺夫函数；李雅普诺夫直接法；部分变元；稳定性中图分类号：O175．21文献标志码：A文章编号：1671-4288(2014)02—010O一03Liapunov直接法日益广泛地应用于控制系统、电力

2、系统、生态系统等诸系统中。然而，在系统承受某种干扰之后，该系统能否稳妥地保持预定的运动或工作状态，这是必须要考虑的性能。但对于许多实际问题，人们只对一部分变元感兴趣，或因技术上的困难，对另一部分变元无法控制和测定，这就要求研究系统关于部分变元的稳定性。本文运用Liapunov直接法，得到了系统关于部分变元稳定性的两个新判据，使文献[5中的有关结果成为特例。1定义与记号考虑非自治系统警一X(￡，)(1)“￡_zER，X(t，z)的定义域为H一{(￡，z)l0O，∈R)，X(

3、t，O)===0。—It0，+∞)，z一(-z1，2，⋯，)了、，一(z1，z2，⋯，z)，一(z+1，+2，⋯，z)，o4m≤。IlzlI一(善z){，lll『一(圣z){，llzll一(z)专，X(t，)在域H上连续且满足解的存在唯一性条件。定义1若对任意的e>0，存在3>0，使当IIz。ll<时，系统(1)过初值z。的解x(t，t。，z。)对一切￡≥均有Ily(t，to，zo)I

4、1)过。的解x(t，t。，z。)均有limy(t，to，o)一O，，则称系统(1)的零解关于部分变元Y全局渐近稳定。引理1I4如果V(t，z)为定义域内关于Y的无限大定正函数，则在0≤lIYll<+∞内，存在严格单增连续函数以(1lYII)，且口(0)一O．．IJi口(IIYl1)==：+c×3，使得在定义域内，不等式口(1lY)≤V(￡，z)成立。2主要结果定理1若对于方程组(1)：(i)在域H上存在函数V(t，z)，使得V(t，z)-O(t)oo(y)为常iF_i~数，其中()为定正函数，于￡≥0

5、，()≥1，连续；roo(ii)≤g(￡)，此处g(￡)于￡≥0非负、可积，且满足Ig(t)dt<+Cx：D。J0则方程组(1)的零解关于部分变元Y稳定。证明只须证对任给的e>0，存在(e)>0，(￡)，当lIX。I<时，有*收稿日期：2013—1O一16作者简介：郭怡萍(1989～)，女，山东青岛人，山东科技大学数学与系统科学学院研究生。一1OO—第2期郭怡萍：关于部分变元稳定性的新判据lly(t，t0，o)Il<￡(2)对任给的s>O，取Z—inf(v)YlI=E则当IlYll一￡时，有V(t，z

6、)≥(￡)∞()≥()≥Z(3)f。。由条件(ii)，因为g(￡)≥0，Ig()￡<+∞，故对寺，有T≥，使对一切￡≥T，有flg(r)r<专1(4)考虑V(T，z)，因为V(T，)有无限小上界，故对告，存在>o，(O，无妨使同时满足<<￡，对任何。，当llz。lI<时，有lIy(t，t0，0)II<1<￡(6)对此8>0，则当【lz。ll<时，确定一组解x

7、=x(t，t。，。)，现证，当￡≥时，(2)成立。由(6)知，当t由t。增至T时，有Ily(t，t。，z。)<￡，即当tEEt。，T]时，(2)成立。现在考虑当t由T继续增加时，y(t，to，X。)的变化情况。考虑V(￡，x(t，t。，。))，此时，对任意的￡≥T，由条件(ii)，有V≤g(￡)，故有IVdr≤Ig(r)dr。并注意到(4)、(5)，即有ftV(t，x(t，t0，0))≤、／r(T，z(T，t0，zo))+lf(r)dr

8、因为若否，即有￡>T存在，使ly(t，t。，z。)II：==￡，注意到(3)，则必有V(t，x(t，t0，z0))>((￡，t0，z0))≥Z，此与(7)矛盾。综上所述，对一切的≥￡。，(2)均成立，故方程组(1)的零解关于部分变元Y稳定。定理2若对于方程组(1)：(i)在域H上存在函数V(t，)，使得V(t，z)-O(t)w(y)为常正函数，其中叫()为无限大定正函数，于￡≥0，(￡)≥1，连续，且liraO(t)一+oo；，(ii)V≤g(￡)，此处