分数布朗运动环境下阶梯式幂期权定价的鞅分析-论文.pdf

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1、黑河学院学报2014年第3期(2014年6月)JOURNAL0FHEIHEUNIVERSITY自然科学研究doi：10．3969／j．issn．1674—9499．2014．03．033分数布朗运动环境下阶梯式幂期权定价的鞅分析卢树强刘秀芳刘越智赵胜霞(大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆163712)摘要：标的资产价格服从几何分数布朗运动的欧式幂期权定价。考虑投资者对风险和收益的要求，构建出一类新型幂期权，期权到期价格为：，O，s()≤c(T)={S(￡)一，<-s(T)s；(t)一K，S(T)>

2、M在分数布朗运动前提下，利用等价鞅测度理论，将经典幂期权模型中的理论进行推广，得出新型期权定价公式。满足投资者的要求，使这种期权得以实际运行。关键词：分数布朗运动；幂期权；拟鞅；等价鞅测度中图分类号：0211．9文献标志码：A文章编号：1674—9499(2014)03—0120—03则称{X(t)，t0}是布朗运动。当C取值为1引言l时，称为标准布朗运动，记为B(￡)。2O世纪70年代，Black—scholes期权定价公定义3连续Guass过程满足{BH(t)，t式问世，公式自提出之日起，就被人

3、们广泛应用0}满足：于金融理论中衍生产品的定价内容中，公式假定(1)(0)=0，E(B(t))=0股价分布为对数正态分布。然而，近年来对股票(2)协方差函数为市场的研究表明，股票市场价格并不完全符合正C(，s)=1{￡。胃+s一l一sJ)，0

4、0}为标准布朗运动。二面也有很多学者给出新的定价公式J。本文在1分数布朗运动和幂期权的基础上，构建一种新型÷0，B(ott)与曰(t)有相同的有定义1L3如果随机过程{(t)，t∈T}对任限维分布(自相似性)。意t∈T，i=1，2，⋯，n，有X(t1)，X(t2)，⋯，X(t)(2)C(n)=C

5、ov(B(1)，B(n+1)一的联合分布为n维正态分布，则称{X(t)，f∈T}B(n))(长期依赖性)。为正态过程，也称Guass过程。在Wick乘积和分数白噪声理论的基础上定定义2若一个随机过程{(t)，t0}满义了有关分数布朗运动的随机积分【5]。足：假设在金融市场中有两种资产，其一为无风(1)(￡)是独立增量过程；险资产，价格过程M(t)满足：(2)Vs，t>0，X(s+t)一(￡)一Ⅳ(0，c2t)，即dM(f)：r(f)(t)dt，M(O)=1，0tT(s+t)一(t)是期望为0，方差为

6、C2t的正态分另一资产为风险资产(股票)，价格S(t)满足：布；dS(￡)(3)(￡)关于t是连续函数。：ix(t)5(￡)dt+(￡)S(￡)dB日(t)(2—1)收稿日期：2014—02—28基金项目：黑龙江省2013年大学生创新创业训练计划项目(201310235017)作者简介：卢树强(1979一)，男，讲师，硕士，主要从事随机过程的研究。S()其中E为概率测度尸下的数学期望，E是概率测=．s(0)exp{(s)ds一吉()+()())度Q下的拟条件数学期望。引理2任一F可测有界未定权益F∈

7、{B(￡)，t≥0}是概率空间(，F，P)上的分数布朗L(P)在任意时刻t∈[0，T]的价格为运动。r(t)，(t)，()皆是时间t的确定函数，满足F()=e-r(1'-t)壹[F]J(1r(s)I+l(s)I+I(s)1)ds<。。，定理1新型期权期满前任意时刻t时的定价公式为f)=d<∞c(S(￡)，¨．Itor(s)证明该市场不存在套利且为完全市场J。=exP【(n一1)s)(￡)3期权及其定价公式exp{吉1)(r2))本文构建的新型期权到期价格表示如下：fO，S(T)sK[()一(d)]+

8、exp[(n一1)(s)】c()={s(t)一K，KM是股票期权到期时刻。(一)一Kexp{fTr(s)(一d1)]定义4假设Ggn(s)d曰(s)∈其中J，gE(R)，J是赋予归纳拓扑的随机分布函d-。==【IIn(K／S(t))一几。J(jTr(s)ds+÷L_数空间，则(1)G关于F(t)={B口(s)，0s≤t}的n。z(一tTM)1／(。)拟条件期望定义为E[G]：=Ef