对“参变分离”的辩证思考-论文.pdf

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1、·42·中学数学研究2014年第9期是利用最值来导航目标，拓展思维．所以，在解决此[J]．中学数学月刊，2012，6．类问题时，抓住最值来“做文章”，才更容易打开思[2]王丽．例谈不等式恒成立问题中参数范围的求解策略[J]．数理化学习(高一二版)，2013，4．维的大门，找到解题的具体策略和方法．[3]蔡勇全．确定恒成立不等式中参数范围的九种策略[J]．中学数学研究(江西师大)，2010，11．参考文献[1]傅建红．恒成立不等式中分离参数的后续手段初探对“参变分离’’的辩证思考。江苏省泗洪中学(223900)孙辉陈闯“参变分离法”是解决方程、不等式有

2、解或恒成0，所以()在[e，e2]上单调递减，所以()miⅡ=立等问题的简洁、有效的方法．大家在使用这一方法h(e2)=一1．所以口≥丢一1．的时候，往往会出现一种倾向，即一看到题目就想到“参变分离法”．当遇到不好分离参数时，就不知道点评：将‘)≤寺”等价转化为‘)≤怎么办了．所以，我们有必要对“参变分离法”作进一步的思考，弄明白何时需要分离，何时不能分离或寺能成立”是关键一步．因为)不易求得(分部分分离．类讨论会很麻烦)，所以需要分离参数．1．全分离2．不分离例1已知函数。)=l一ax(x>0且≠IlX例2已知函数，()=÷m(一1)一2x+31)

3、，若了l，2∈[e，e]，使得1)≤厂(2)+口成+l似，其中m>0．若曲线Y=)在点P(1，1)处立，求实数n的取值范围．的切线l与曲线)，=，()有且仅有一个公共点，求m解析：由题意可得)]≤()+的值．口]一，e,e(+口一(击)+壶，解析：易得切线Z的方程为Y=一菇+2，从而条2∈[e9e]，不含参数口，且易得(2)+口]一=件转化为方程÷m(一1)一戈+1+lnx=0在∈(0，+∞)上有且仅有一解．÷·，(=一Ⅱ，·∈e,e]，含参数口，且不设g()=÷m(戈一1)。一+1+Lax，贝0g(茹)易得If()]血，所以考虑分离参数．由上可得了

4、∈e,e]，使得一≤1成立．=m(一1)一1+_=1_．由g()=0，得(一分离参数可得口≥(1一击)血·可令()1)(一1)=0．当o

5、1时，g()在(0，+∞)h()=2[1nx+(k一1)+1]．因为^()的零点上单调递增，故g()=0有且仅有一解=1．当m不易求出，从而^()的最值也就不易求出，于是以上条件也就不能转化为关于后的不等式，由此无法>1时，g()在fo，1上单调递增，在f1，1)上单、m／、m，求出k的范围．调递减，在(1，+∞)上单调递增，又g(1)=0，且当虽然可以采用对后进行分类讨论的方法，逐步_+O时，g()叶一∞，故g(x)=0有两解．综上，m排除不合要求的k的范围，最终得出k的范围，但是=1．比较繁琐，不易做到最终结果．点评：若对方程÷m(一1)一+1+

6、lnx=0全反思：以上两种思路，其中的障碍、繁难在于构分离参数，则后面需要研究的函数将会很复杂，令人造的函数g()={lnx+1和()=2xlnx+(望而却步．一1)+(1一)中，lnx总是与其他含有的式子3．半分离“乘”在一起，真是“剪不断，理还乱”，导致求导以例3已知函数)=+b，曲线Y=后lnx仍未消失，难以判断导数的符号或求出导数的零点，而且思路一中还存在=1时g()无意义)在点(11))处的切线方程为+一3=0．的困难．因此下面我们考虑在构造的函数中避免出(1)求口，b的值；现lnx与其他含有式子的乘积．(2)若当>o且≠1时，恒有)>思路

7、三：(半分离，部分构造)通过移项，把条件+，求的取值范围．转化为【2l+】>0对>分析：第(1)问比较容易，口=b=1；把第(1)0且≠1恒成立．问的结果代入，则第(2)问即转化为：若不等式因为当E(o，1)或E(1，+∞)时，+>+对>0且≠1恒成立，的正负是确定的，因此只需要研究21nx+求k的取值范围．_二的符号．思路一：(全分离)把条件转化为k<{等lnx令(茹)：21似+二，则+1对>0且≠1恒成立，因此只需求g(x)=，()：二l+1(>0且≠1)的最小值．k——一—1—)———+2—+——(后——=一1)通过求导，再构造函数，再求导，可

8、得g()在·(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，但当=1时，为了研究()的根的情况，需要对分子(．j}一